在算法竞赛中，我们一般关注对于一个初始局面，是否存在先手必胜/必败，以及其策略.
我们称当前局面先手必胜为 N 态，必败则为 P 态.
几个不同的游戏术语
合作/非合作博弈
合作博弈：参与者能进行合作，或不合作会受到规则惩罚.
非合作博弈：参与者不能合作，或者合作会受到规则惩罚.
对称博弈
参与者无论身份，在做出相同操作（如果可以）的时候，获得的收益一定相同.
完美信息博弈
玩家在自己回合操作时，完全知道当前局面的一切信息.
比如象棋、围棋就是完美信息博弈；扑克牌就是不完美信息博弈，因为不知道对手手牌.
完全信息博弈
玩家完全知道一切规则和所有玩家的可执行操作.
比如下棋、打牌就是完全信息博弈；最近网络上比较热门的不要做挑战等就是不完全信息博弈.
公平组合博弈
所有人在同一状态下能执行的操作是一样的，无关身份.
比如 Nim 游戏；象棋就不是公平组合博弈，因为玩家只能动自己颜色的棋子.
正常/反常博弈
正常博弈：最后一个行动的玩家为胜者.
反常博弈：最后一个行动的玩家为败者.
下面我们一般考虑正常博弈.
博弈图
考虑把一个 局面 看成是一个点，把当前局面和它的后继局面连一条有向边，最终会形成一张图，称之为 博弈图.
我们只考虑不存在环的 公平博弈游戏.
显然，没有后继节点的一定是 P 态.
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直观上不难理解，因为当前操作时，该玩家一定希望自己必胜，即希望对手操作时面临 P 态，所以有以下结论：
当前局面必胜（N 态）的充分必要条件是存在一个后继节点是必败的（P 态）.
当前局面必败（P 态）的充分必要条件是其所有后继节点都是必胜的（N态）.
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因此，理论上我们存在 \(O(|V|+|E|)\) 时间复杂度的算法来计算出当前局面是否必胜，但是时间复杂度显然过高.
下面我们来看一个简单的博弈论模型及其内涵.
Nim 游戏
有 \(N\) 堆石子，每堆石子各有 \(a_1,a_2,\dots,a_n\) 个，玩家每次可以选择一堆，拿走其中的若干个石子，当一名玩家拿走了场上所有剩余石子时，该玩家获胜.
其先手必胜，当且仅当 \(\oplus a_i =0\). 我们把全体元素的异或和 \(\oplus a_i\) 称为 Nim 和，这是博弈论中很重要的一个概念.
游戏的和与等价
游戏 \(G\) 与 \(H\) 的和，记作 \(G+H\)，指的是两个互不干扰的游戏，玩家每次只能选择其中的一个游戏进行一次操作. 两个子游戏都无法移动时，游戏结束.
这个定义可以简单地扩展到多个游戏的和，比如 Nim 游戏就是 \(N\) 个单堆 Nim 游戏的和.
如果对于所有游戏 \(H\)，游戏 \(G_1+H,G_2+H\) 都同处于必败或必胜状态，则称 \(G_1,G_2\) 等价，记作 \(G1\approx G_2\).
我们可以引出两个引理：
对于游戏 \(G\) 和任一必败游戏 \(A\)，都有 \(G\approx G+A\).
两游戏等价当且仅当他们的和是必败游戏.
从而我们可以得到 SG 定理与 SG 函数.
SG 定理与 SG 函数
SG 定理：所有公平组合游戏都等价于单堆 Nim 游戏. 即对于任一公平组合游戏 \(G\)，都存在一个自然数 \(n\)，使得 \(G\approx *n\)，其中 \(*n\) 表示有 \(n\) 个石子的单堆 Nim 游戏.
从而我们可以把所有的公平游戏都映射到一个自然数上，这个映射称为 SG 函数. 对应的自然数 \(n\) 称为该游戏的 SG 函数值.
根据博弈图中的推论，可以递归地定义 SG 函数值：
\(\operatorname{SG}(x) = \operatorname{mex}\{\operatorname{SG}(x'): x'\in x\}\)
其中，\(\operatorname{mex}(A):=\min\{n\in\mathbf N:n\notin A\}\) 是没有出现在集合 A 中的最小自然数。
即 SG 函数值是其所有后继节点的 SG 函数值的 mex.
如此，我们能简单地考虑一个局面是否先手必胜：
状态 \(x\) 必胜，当且仅当 \(SG(x)\neq 0\)
最后，考虑和游戏的 SG 函数值，其为所有子游戏 SG 函数的 Nim 和，即：
\(\operatorname{SG}(G_1+G_2+\dots+G_n)=\operatorname{SG}(G_1)\oplus\operatorname{SG}(G_2)\oplus\dots\oplus\operatorname{SG}(G_n)\)
小结
有了以上的所有结论，我们可以在竞赛中通过暴力打表的方式，初步研究一下局面的必胜/必败情况.