28、结构化奇异值与时不变不确定性分析

结构化奇异值与时不变不确定性分析

在系统分析中，不确定性是一个常见且重要的问题。为了更好地理解和处理系统中的不确定性，我们引入了结构化奇异值的概念，并将其应用于时不变不确定性的分析。

结构化奇异值的基本概念

在之前对鲁棒性问题的研究基础上，我们将把一些经验教训扩展到更一般的不确定性模型的鲁棒性分析中。到目前为止，我们所研究的不确定系统通常由一个标称组件 (M)（假设为线性时不变，即 LTI）和一个不确定组件组成。对于不确定组件，我们可以用信号之间的关系 (R) 或者一组算子 (\Delta) 来描述。

我们首先研究了无结构不确定性集合，其中 (\Delta) 只是算子的单位球。在这种情况下，系统的良好连接性分析可以简化为对 (M) 的小增益条件。之后，我们又研究了空间结构化不确定性，此时良好连接性的分析简化为一个缩放的小增益条件。

现在，我们感兴趣的是对算子单位球施加一些额外性质 (P(\Delta)) 的结构，即 (\Delta = {\Delta \in L(L^2) : |\Delta| \leq 1 \text{ 且性质 } P(\Delta) \text{ 成立}})。例如，(P(\Delta)) 可以是块对角结构（如 (\Delta_a)），或者对某些算子块的动态限制（例如，指定它们是 LTI、静态或无记忆的等）。我们假设 (P(\Delta)) 不施加范数限制，并且如果 (\Delta) 满足 (P(\Delta))，那么对于任何 (\alpha > 0)，(\alpha\Delta) 也满足。即集合 (C_{\Delta} := {\Delta \in L(L^2) : \text{性质 } P(\Delta) \text{ 满足}})