69、深入探究Z4上的自对偶码

深入探究Z4上的自对偶码

1. 引言

在编码理论中，自对偶码是一类重要的码。像八进制码和一些扩展的Z4 - 二次剩余码等都是自对偶码。对Z4上自对偶码的研究在很多方面与Fq上自对偶码的研究相似，但也存在重要差异，比如Z4上存在奇数长度的自对偶码，像长度为7的自对偶循环码就有三个。

2. 自对偶码的类型

根据欧几里得重量，我们将Z4上的自对偶线性码分为两类：
-Type II码：若自对偶Z4 - 线性码中每个码字的欧几里得重量都是8的倍数，则称其为Type II码。Type II码仅在长度n ≡ 0 (mod 8)时存在，并且这类码包含所有坐标为±1的码字。例如，长度为p + 1（p ≡ -1 (mod 8)）的扩展Z4 - 二次剩余码就是Type II码。
-Type I码：若自对偶Z4 - 线性码中存在某个码字的欧几里得重量不是8的倍数，则称其为Type I码。

3. 欧几里得重量的上界

对于Z4上长度为n的自对偶码C，有如下欧几里得重量上界：
-Type II码：C的最小欧几里得重量至多为8 ⌊n/24⌋ + 8。
-Type I码：C的最小欧几里得重量通常至多为8 ⌊n/24⌋ + 8，但当n ≡ 23 (mod 24)时，上界为8 ⌊n/24⌋ + 12。若取到这个上界，则C是由长度为n + 1的Type II码缩短得到的。满足这些上界的码称为欧几里得极值码，如长度为24的扩展Z4 - 二次剩余码就是欧几里得极值码，其最