2026年数学建模国赛A题算法（13）：边值问题的打靶法与差分法：从理论到工程应用的数学建模研究

摘要

边值问题（Boundary Value Problems, BVPs）是微分方程理论中的重要组成部分，广泛应用于物理学、工程学、生物学及经济学等领域。由于解析解的局限性，数值方法成为求解复杂边值问题的主要手段。本文系统研究了求解二阶常微分方程边值问题的两类核心数值方法——打靶法（Shooting Method）和有限差分法（Finite Difference Method），并从数学建模的视角对二者进行了深入对比分析。在打靶法研究中，详细推导了线性打靶法、非线性打靶法结合牛顿迭代法的完整算法流程，并基于弦截法提出了改进方案；在差分法研究中，构建了中心差分格式，并利用追赶法高效求解所得三对角线性方程组。通过数值算例验证了两种方法的精度与稳定性，结果表明差分法在求解线性边值问题时具有二阶精度且无条件稳定，而打靶法在非线性问题中展现出更强的适应性。本文进一步以2026年大型语言模型训练中的梯度消失问题为背景，创新性地将边值问题数值方法应用于深度学习优化分析，构建了神经网络深度与梯度传播的连续数学模型，并通过打靶法求解该模型，为神经网络深度设计提供了理论指导。本文工作为边值问题的数值求解提供了系统的理论框架和实用的算法实现，同时拓展了经典数值方法在新兴领域中的应用边界。

关键词：边值问题；打靶法；有限差分法；追赶法；数学建模；深度学习；梯度消失

目录

摘要

1. 引言

1.1 研究背景与意义

1.2 国内外研究现状

1.3 本文研究内容与组织结构

2. 边值问题的数学模型

2.1 一般形式的二阶边值问题

2.2 线性边值问题

2.3 非线性边值问题

2.4 解的存在唯一性条件

3. 打靶法：原理、算法与改进

3.1 打靶法的基本思想

3.2 线性打靶法

3.3 非线性打靶法

3.3.1 基于割线法的非线性打靶

3.3.2 基于Newton法的非线性打靶

3.4 打靶法的改进策略

3.4.1 多重打靶法

3.4.2 自适应步长策略

4. 有限差分法：离散化与高效求解

4.1 差分法的基本思想

4.2 网格离散化与差分格式

4.3 线性边值问题的差分法

4.4 三对角方程组与追赶法

4.5 非线性边值问题的差分法

4.6 差分法的误差分析与收敛性

5. 数值实验与对比分析

5.1 算例设计与实验设置

5.2 算例1结果分析

5.3 算例2结果分析

5.4 两种方法的综合对比