线性代数与向量
线性代数与向量
标量与向量
如何衡量一个人的健康程度？
在医学上，我们可以根据一个人的 身高、体重、年龄 来大致推算其健康程度。如果转换成数学语言的话，我们可以考虑写出这样一个公式，其中x表示身高，y表示体重，z表示年龄：(x+y)/z，公式的计算结果表示一个人的健康程度。
公式中的x、y、z可以是任何数字，我们将其称之为标量，多个标量组合在一起，产生了一个新的含义（一个人的健康程度），我们将这个组合称为向量。
在代码中，我们可以使用一维数组来表示一个向量：
importtorch x=torch.tensor([0,1,2,3])print(x)# tensor([0, 1, 2, 3])一个只有一个元素的一维数组，可以表示一个标量：
importtorch x=torch.tensor([1])print(x)# tensor([1])矩阵
在使用数据的过程中，我们不可能只用一组数据（一个向量），例如医院必须要很多人的身体数据才能衡量出整体的健康指标。
当我们将多个向量组合在一起时，就形成了一个二维数组，称之为矩阵：
importtorch x=torch.arange(12).reshape(3,-1)print(x)# tensor([[ 0, 1, 2, 3],# [ 4, 5, 6, 7],# [ 8, 9, 10, 11]])如果我们将矩阵中的元素沿着斜对称轴互换的话（也就是将XijX_{ij}Xij变成XjiX_{ji}Xji）,就可以得到数组的转置（数学表示为XTX^TXT）：
importtorch x=torch.arange(12).reshape(3,-1)print(x)# tensor([[ 0, 1, 2, 3],# [ 4, 5, 6, 7],# [ 8, 9, 10, 11]])y=x.Tprint(y)# tensor([[ 0, 4, 8],# [ 1, 5, 9],# [ 2, 6, 10],# [ 3, 7, 11]])如果X=XTX=X^TX=XT,我们称其为对称矩阵：
importtorch x=torch.tensor([[1,2,3],[2,0,4],[3,4,5]])print(x)# tensor([[1, 2, 3],# [2, 0, 4],# [3, 4, 5]])y=x.Tprint(y)# tensor([[1, 2, 3],# [2, 0, 4],# [3, 4, 5]])print(x==y)# tensor([[True, True, True],# [True, True, True],# [True, True, True]])当我们对一个矩阵（二维数组）或者更高维数组进行求和时，可以单独对某一维进行求和：
importtorch x=torch.ones(3,4)print(x)# tensor([[1., 1., 1., 1.],# [1., 1., 1., 1.],# [1., 1., 1., 1.]])print(x.sum())# tensor(12.)print(x.sum(axis=0))# tensor([3., 3., 3., 3.])print(x.sum(axis=1))# tensor([4., 4., 4.])axis=0表示对第0维进行求和，对于一个矩阵（二维数组）来说，也就是将矩阵的高进行压缩，变成了一个一维数组（向量）。
同理，我们对一个矩阵（二维数组）或者更高维数组进行求平均值时，可以单独对某一维进行求平均值：
importtorch x=torch.arange(12,dtype=float).reshape(3,-1)print(x)# tensor([[1., 1., 1., 1.],# [1., 1., 1., 1.],# [1., 1., 1., 1.]])print(x.mean())# tensor(12.)print(x.mean(axis=0))# tensor([3., 3., 3., 3.])不过，在某些操作中，我们可能不想降低数组的维度：
importtorch x=torch.ones(3,4)print(x)# tensor([[1., 1., 1., 1.],# [1., 1., 1., 1.],# [1., 1., 1., 1.]])print(x.sum())# tensor(12.)# 得到的依旧是一个二维数组，只不过第1维的数组长度为0print(x.sum(axis=0,keepdim=True))# tensor([[3., 3., 3., 3.]])此外，还有个函数cumsum可以在某个维度上进行累计求和：
importtorch x=torch.ones(3,4)print(x)# tensor([[1., 1., 1., 1.],# [1., 1., 1., 1.],# [1., 1., 1., 1.]])print(x.sum())# tensor(12.)print(x.cumsum(axis=1))# tensor([[1., 2., 3., 4.],# [1., 2., 3., 4.],# [1., 2., 3., 4.]])向量点积
对于两个相同形状的向量，将对应位置元素相乘，然后取和，可以得到这两个向量的点积（数学表示为XTYX^TYXTY或者<X,Y><X,Y><X,Y>）:
importtorch x=torch.tensor([1,1,1])y=torch.tensor([2,2,2])print(torch.dot(x,y))# tensor(6)矩阵-向量积
矩阵-向量积可以理解为向量点积的扩展，将向量与矩阵的每行向量进行点积，再将每个结果组合成一个向量，就得到了矩阵-向量积：
importtorch x=torch.tensor([[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]])y=torch.tensor([2,2,2])# 用函数 mv 来得到矩阵-向量积print(torch.mv(x,y))# tensor([6, 6, 6])foriinrange(len(x)):print(torch.dot(y,x[i]))# tensor(6)# tensor(6)# tensor(6)矩阵乘法
矩阵乘法也可以理解为向量点积的扩展，只需将一个矩阵的第i行，与另一个矩阵的第j列进行向量点积，就可以得到结果矩阵的第i行j列的元素：
importtorch x=torch.tensor([[1,1,1],[1,1,1],[1,1,1]])y=torch.tensor([[2,2,2],[2,2,2],[2,2,2]])# 用函数 mm 来得到矩阵乘法的结果print(torch.mm(x,y))# tensor([[6, 6, 6],# [6, 6, 6],# [6, 6, 6]])范数
我们将一个向量的大小称为向量的范数。
范数有多种计算方式。L2L_2L2范数的计算方式是将向量中所有元素的平方求和，然后求平方根：∥x∥2=∑i=1nxi2\|\mathbf{x}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}∥x∥2=∑i=1nxi2,在PyTorch中可以通过norm函数获得：
importtorch x=torch.tensor([3.0,-4.0])print(x.norm())# tensor(5.)L1L_1L1范数的计算方式是将向量中的所有元素的绝对值求和：∥x∥1=∑i=1n∣xi∣\|\mathbf{x}\|_1 = \sum_{i=1}^n \left|x_i \right|∥x∥1=∑i=1n∣xi∣，在PyTorch中可以通过这种方式获得：
importtorch x=torch.tensor([3.0,-4.0])print(torch.abs(x).sum())# tensor(7.)范数的意义在于，我们可以衡量两个向量之间的差距：
importtorch x=torch.tensor([2.,3.,2.])y=torch.tensor([1.,1.,1.])print(x.norm())# tensor(4.1231)print(y.norm())# tensor(1.7321)print((x-y).norm())# tensor(2.4495)