基环树学习笔记
往一个树上额外添加一条边，称得到的图为基环树。
基环树点数和边数相同，但是点数和边数相同的图不一定是基环树。
另外，满足以下性质的图是基环森林（当联通时是基环树）：
- 每个点有且仅有一条出边，这时候称得到的图为外向基环森林。
- 每个点有且仅有一条入边，这时候称得到的图为内向基环森林。
对基环树通常的处理方法有两种。
第一种是任意断开环上的一条边，当作树上问题做。最后再考虑这条边对答案的影响。
第二种是断开环上的所有边，对得到的所有树处理得到根的答案，转化成环上的问题。
实现上，可以用 dfs 找出环，然后正常做。或者是在拓扑排序的过程中维护。
例题：
P4381 [IOI 2008] Island
求基环树的直径。
将环全部断开，求出每个子树内的最大值。dp 可以直接求出。
令 \(d_x\) 表示 \(x\) 子树内的最深点的深度。
取环上任意一点 \(p\)，从 \(p\) 点处断开得到链。令 \(s_x\) 表示 \(x\) 点在这条链上到 \(p\) 的距离。
那么经过环的最长距离就是
\[\max_{s_y>s_x} d_x+d_y+\max(s_y-s_x,s_x-s_y+\text{len})
\]
拆开可以直接线性维护。
code
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>const int N = 1e6 + 7;
typedef long long i64;namespace wyx {int n, deg[N];
std::vector<std::pair<int, int>> g[N];
i64 dp[N], de[N], ans;inline void pushup(int u) {dp[u] = 0;for(auto& [v, w]: g[u]) {if(deg[v] == 1) {dp[u] = std::max(dp[u], dp[v]);dp[u] = std::max(dp[u], de[u] + de[v] + w);de[u] = std::max(de[u], de[v] + w);}}
}void toposort() {std::queue<int> q;for(int i = 1; i <= n; ++i) {if(deg[i] == 1) {q.push(i);}}while(!q.empty()) {int u = q.front(); q.pop();pushup(u);for(auto& [v, w]: g[u]) {if(--deg[v] == 1) q.push(v);}}
}inline void solve(int x) {i64 res = 0;i64 a1 = -1e18, a2 = -1e18, b1 = -1e18, b2 = -1e18, pre = 0;int y = x;while(x) {deg[x] = 0;int nv = 0, nw = 0;for(auto& [v, w]: g[x]) {if(deg[v] == 2) {nv = v, nw = w; break;} }pushup(x);res = std::max(res, dp[x]);b1 = std::max(b1, a1 + de[x] + pre);b2 = std::max(b2, a2 + de[x] - pre);a1 = std::max(a1, de[x] - pre);a2 = std::max(a2, de[x] + pre);if(!nv) {std::reverse(g[x].begin(), g[x].end());for(auto& [v, w]: g[x]) {if(v == y) { pre += w; break; }}break;}pre += nw, x = nv;}res = std::max(res, std::max(b1, b2 + pre));ans += res;
}inline void main() {std::cin >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i) {int x = i, y, z;std::cin >> y >> z;g[x].emplace_back(y, z);g[y].emplace_back(x, z);++deg[x], ++deg[y];}toposort();for(int i = 1; i <= n; ++i) {if(deg[i] == 2) {solve(i);}}std::cout << ans << "\n";
}};int main() {std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);wyx::main();
}
P2607 [ZJOI2008] 骑士
求基环树上最大独立集。
树内用类似上一题的方法处理。
环上的部分，可以从任意边 \(x \rightarrow y\) 断开。
dp 时钦定 \(x\) 选/不选，dp 到 \(y\) 的状态时合并答案。
code
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <tuple>namespace wyx {const int N = 1e6 + 7;typedef long long i64;
int n, deg[N]; i64 dp[N][2], w[N];
std::basic_string<int> g[N];inline void pushup(int u) {dp[u][0] = 0, dp[u][1] = w[u];for(int& v: g[u]) {if(deg[v] == 1) {dp[u][0] += std::max(dp[v][0], dp[v][1]);dp[u][1] += dp[v][0];}}
}inline void toposort() {std::queue<int> q;for(int i = 1; i <= n; ++i) {if(deg[i] == 1) q.push(i);}while(!q.empty()) {int u = q.front(); q.pop();pushup(u);for(int& v: g[u]) {if(--deg[v] == 1) q.push(v);}}
}i64 ans = 0;
inline void solve(int x) {auto findnext = [](int x) { for(int& v: g[x]) if(deg[v] == 2) return v; return 0; };i64 dp[2][2];pushup(x);dp[1][1] = wyx::dp[x][1], dp[0][0] = wyx::dp[x][0];dp[1][0] = dp[0][1] = -1e18; deg[x] = 0, x = findnext(x);while(x) {pushup(x);for(int k = 0; k < 2; ++k) {std::tie(dp[k][0], dp[k][1]) = std::make_pair(std::max(dp[k][0], dp[k][1]) + wyx::dp[x][0], dp[k][0] + wyx::dp[x][1]);}deg[x] = 0, x = findnext(x);} i64 res = std::max({dp[0][0], dp[0][1], dp[1][0]});ans += res;
}inline void main() {std::cin >> n;for(int y, i = 1; i <= n; ++i) {std::cin >> w[i] >> y;g[i] += y, g[y] += i;++deg[i], ++deg[y];}toposort();for(int i = 1; i <= n; ++i) {if(deg[i] == 2) {solve(i);}}std::cout << ans << "\n";
}};int main() {std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);wyx::main();
}