数学分析学习笔记2：数列极限

upd.26.2.10

§3. 数列极限

若函数 \(f\) 定义域为全体正整数 \(\mathbb{N}_+\)，则称

\[f: \mathbb{N}_+ \to \mathbb{R} \quad \text{或} \quad f(n),\ n \in \mathbb{N}_+ \]

为数列，记为 \({a_n}\)，称 \(a_n\) 为该数列的通项。

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一、数列收敛的 \(\varepsilon\)-\(N\) 定义

设 \({a_n}\) 为数列，\(a\) 为定值。若 \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists N \in \mathbb{N}_+\)，使得当 \(n > N\) 时，有：

\[|a_n - a| < \varepsilon \]

则称 \({a_n}\) 收敛于 \(a\)，\(a\) 称为 \({a_n}\) 的极限，记作：

\[\lim_{n \to \infty} a_n = a \]

Tip: \(\lim\) 符号并不是来源于 limit，而是 limes。

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关于 \(N\)-\(\varepsilon\) 定义的注意点

1. \(\varepsilon\) 的任意性
   \(\varepsilon\) 表示 \(a_n\) 与 \(a\) 的接近程度。当 \(a_n\) 收敛于 \(a\) 时，\(\varepsilon\) 可无限接近于 0，称为无穷小量。此时 \(\varepsilon\) 可用 \(\frac{\varepsilon}{2},\ \varepsilon^2\) 等替代，或是用确定的数字替代。

2. \(N\) 的相应性
   一般来讲，\(N\) 随 \(\varepsilon\) 变小而增大，因此常用函数形式 \(N(\varepsilon)\) 强调 \(N\) 与 \(\varepsilon\) 的依赖性，但 \(N\) 并不是由 \(\varepsilon\) 唯一确定的。事实上我们并不关心 \(N\) 的数值，只关心 \(N\) 是否存在。

3. \(N\)-\(\varepsilon\) 定义意味着，所有下标大于 \(N\) 的项 \(a_n\) 都落在 \(U(a;\varepsilon)\) 内，在 \(U(a;\varepsilon)\) 外，\({a_n}\) 中的项至多只有 \(N\) 个（其实只需说明为有限个）。

   \(\Rightarrow\) 任给 \(\varepsilon > 0\)，若在 \(U(a;\varepsilon)\) 外的项有有限个，则 \({a_n}\) 收敛于 \(a\)。

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§4. 收敛数列性质

1. 唯一性：若 \({a_n}\) 收敛，则它仅有一个极限。

2. 有界性：若 \({a_n}\) 收敛，则它有界。（充分不必要）

3. 保号性：若 \(\lim_{n \to \infty} a_n = a > 0\)（或 \(< 0\)），则对任何 \(a' \in (0,a)\)（或 \(a' \in (a,0)\)），存在 \(N\)，使得当 \(n > N\) 时，有 \(a_n > a'\)（或 \(< a'\)）。

   \(\Rightarrow\) 设 \(\lim_{n \to \infty} a_n = a,\ \lim_{n \to \infty} b_n = b,\ a < b\)，则存在 \(N\)，当 \(n > N\) 时，有 \(a_n < b_n\)。

4. 保不等式性：
   设 \({a_n}\) 与 \({b_n}\) 均收敛，若存在 \(N_0\)，使得当 \(n > N_0\) 时，有 \(a_n \le b_n\)，则

\[\lim_{n \to \infty} a_n \le \lim_{n \to \infty} b_n \]

5. 迫敛性：
   设收敛数列 \({a_n},\ {b_n}\) 极限为 \(a\)，若 \({c_n}\) 满足：存在正整数 \(N_0\)，当 \(n > N_0\) 时，有：

\[a_n \le c_n \le b_n \]

则 \({c_n}\) 收敛于 \(a\)。

6. 极限的四则运算：

\[\lim_{n \to \infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n \pm \lim_{n \to \infty} b_n \]

\[\lim_{n \to \infty} (a_n b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n \]

\[\lim_{n \to \infty} (a_n + c) = c + \lim_{n \to \infty} a_n \]

\[\lim_{n \to \infty} c a_n = c \lim_{n \to \infty} a_n \]

\[\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim_{n \to \infty} a_n}{\lim_{n \to \infty} b_n} \quad (\lim_{n \to \infty} b_n \neq 0) \]

7. \({a_n}\) 的任意无穷子列收敛 \(\Leftrightarrow\) \({a_n}\) 收敛。

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§5. 数列极限存在的条件

1. 有界的单调数列必有极限。易证其收敛于 \(\sup{a_n}\)（递增）或 \(\inf{a_n}\)（递减）。
2. 任何有界数列必有收敛的子列。
3. Cauchy 收敛准则：
   对于任意 \(\varepsilon > 0\)，存在正整数 \(N\)，当 \(n,m > N\) 时，有：

\[|a_n - a_m| < \varepsilon \]

\(\Leftrightarrow\) \({a_n}\) 收敛。