关于发散的无限项序列之和

我们知道黎曼泽塔函数，

它是对无限项序列的求和。这种求和有的时候是收敛的，比如，比如，，有的时候是发散的，比如，它和对数的定积分只差为一个随着周期增加而增加精度的伽马常数。当然如果类比于圆周率（它也是随着周期增加精度的超越数），也可以认为是收敛的。而通常我们说它是发散的。除了泽塔函数，其实还有一些被认为是发散的序列，其和却有定值。让我们看看这是怎么回事。比如，

也就是2的全部幂次构成的序列的和。对于有限项的情况，它是一个首项为1，公比为2的等比数列，

有限项的全加和为，

无限项，如果公比，则无穷级数和为，

现在的问题是，，也就是数列不收敛，但是我们知道，这个数列的和仍然是，

也就是说，不管是否收敛，结果的形式是一样的。这是我们要讨论的问题。但首先我们考虑每一项都取倒数的情况，

这个不难理解，就是整体的一半加上一半的一半，加上一半的一半的一半，这样无限加下去，就回到了整体。这里的整体的大小是2，第一次一半是1，也就是，每次取先前的一半，也就是。现在，回到，

整体大小未知，第一次是，每次取先前的两倍，也就是，现在要求的是整体的大小。回顾我们求自然对数底的方法，

我们把 S 写成，

这就相当于的递归形式中所有的都等于 2 。最终 S 等于 2 。也就是一个数的一半，加上一之后再取一半，再加上一之后再取一半，无限进行下去，等于这个的倒数，这个数就是 2 。也就是说，求的是递归方程，

的不动点，

而倒数和，

这说的是，一个数的两倍，加上一之后，再求两倍，加上一之后，再求两倍，无限加乘下去，最后等于自己。其实，这里的自己，实际上是自己的倒数，只是两者数值上相等而已（负一和负一分之一）。而这也是要求递归方程的不动点，

根据和e的展开式的对比，可见这些等比数列的全加和也是和e一样的单位，也是自身和自身倒数相等的数值，而求它们的方法，就是写出通式，并求递归方程的不动点。

既然这样，任何一个自然数都可以成为不动点，相当于等比数列的公比大于1，

用这种方式就可以求出任何一个自然数作为不动点的结果，

这里因为公比大于 1 ，结果总是一个负的真分数。也就是说满足这个发散求和的不动点方程的结果总是一个负的真分数。而这和，

的原理是一样的。也就是说，

的实际含义是，

这个结果是一个基于虚数单位的复数，只是它的虚数单位的幂次为偶数，而体现出实数的样子。这个复数并不是说它比 0 小，而是说它占据周期的比例。比如，

写成，

的意思是，这种方式构成的全加和，占据周期减去 1 的结果的比例为 100% 。而，

这种方式的全加和占据周期减去 1 的结果的比例为 8.33% ，也就是十二分之一。

经过这种解读，公比大于 1 的无穷等比数列的全加和也可以用一样的公式来计算结果，也能得到实数解，以及实数解到底是什么意思，也就清楚了。我的意思是，如果发现数列发散，无所谓，可以直接算，因为发散的结果，放到复数域表示（或者认为是复数）即可。