人工智能之数学基础：函数的极限

本文重点

极限思想萌芽于古代数学家对无穷小问题的探索。古希腊哲学家芝诺的“阿基里斯追龟”悖论首次触及连续与离散的矛盾，而中国《庄子·天下篇》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的论述则直观描述了无穷级数的收敛性。极限是微积分的基础。

邻域

点x0的σ邻域是指满足不等式|x-x0|<σ的所有x构成的集合，也就是区间(x0-σ,x0)∪(x0,x0+σ)，这个叫做去心邻域。

极限

函数f(x)，对于任意的ε>0,均存在x0的去心邻域，使得去心邻域内的所有x都满足：

|f(x)-a|<ε

此时可以称函数在x0点处的极限为a。可以表示为：

极限可以这样理解，当自变量x无限接近x0时，函数值f(x)-a的绝对值小于ε，ε可以理解无限的小，那么就相当于f(x0)无限的接近a。

左极限和右极限

极限可以分为左极限和右极限，