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P1017 [NOIP 2000 提高组] 进制转换

news 2026/5/11 20:22:37

题目描述

我们可以用这样的方式来表示一个十进制数：将每个阿拉伯数字乘以一个以该数字所处位置为指数，以101010为底数的幂之和的形式。例如123123123可表示为1×102+2×101+3×1001 \times 10^2+2\times 10^1+3\times 10^01×102+2×101+3×100这样的形式。

与之相似的，对二进制数来说，也可表示成每个二进制数码乘以一个以该数字所处位置为指数，以222为底数的幂之和的形式。

一般说来，任何一个正整数RRR或一个负整数−R-R−R都可以被选来作为一个数制系统的基数。如果是以RRR或−R-R−R为基数，则需要用到的数码为0,1,…,R−10,1,\dots,R-10,1,…,R−1。

例如当R=7R=7R=7时,所需用到的数码是0,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,60,1,2,3,4,5,6，这与其是RRR或−R-R−R无关。如果作为基数的数绝对值超过101010，则为了表示这些数码，通常使用英文字母来表示那些大于999的数码。例如对161616进制数来说,用AAA表示101010，用BBB表示111111，用CCC表示121212，以此类推。

在负进制数中是用 $-R $ 作为基数，例如−15-15−15（十进制）相当于(110001)−2(110001)_{-2}(110001)−2（−2-2−2进制），并且它可以被表示为222的幂级数的和数：

(110001)−2=1×(−2)5+1×(−2)4+0×(−2)3+0×(−2)2+0×(−2)1+1×(−2)0(110001)_{-2}=1\times (-2)^5+1\times (-2)^4+0\times (-2)^3+0\times (-2)^2+0\times (-2)^1 +1\times (-2)^0(110001)−2=1×(−2)5+1×(−2)4+0×(−2)3+0×(−2)2+0×(−2)1+1×(−2)0

设计一个程序，读入一个十进制数和一个负进制数的基数，并将此十进制数转换为此负进制下的数。

输入格式

输入的每行有两个输入数据。

第一个是十进制数nnn。第二个是负进制数的基数RRR。

输出格式

输出此负进制数及其基数，若此基数的绝对值超过101010，则参照161616进制的方式处理。

输入输出样例 #1

输入 #1

30000 -2

输出 #1

30000=11011010101110000(base-2)

输入输出样例 #2

输入 #2

-20000 -2

输出 #2

-20000=1111011000100000(base-2)

输入输出样例 #3

输入 #3

28800 -16

输出 #3

28800=19180(base-16)

输入输出样例 #4

输入 #4

-25000 -16

输出 #4

-25000=7FB8(base-16)

说明/提示

数据范围

对于100%100\%100%的数据，−20≤R≤−2-20 \le R \le -2−20≤R≤−2，∣n∣≤37336|n| \le 37336∣n∣≤37336。

题目解析

代码功能

将十进制整数n转换为r进制数（r可以是负数）

核心思路

1.递归转换函数`zhuan(n, r)`

voidzhuan(intn,intr){if(n==0)return;// 递归终止条件intm=n%r;// 取余数if(m<0)m-=r,n+=r;// 处理负数取余的问题if(m>=10)m='A'+m-10;// 将10以上的余数转为A-Felsem+='0';// 将0-9转为字符zhuan(n/r,r);// 递归处理高位printf("%c",m);// 输出当前位return;}

2.关键处理：负数取余修正

if(m<0)m-=r,n+=r;

这是最巧妙的部分！为什么需要这个？

在C++中，负数取余结果可能是负数（如：-5 % 2 = -1）
但在进制转换中，余数应该始终为非负数
通过m-=r将负余数转为正数，同时n+=r调整被除数

3.执行示例

以n=10, r=2为例：

zhuan(10,2): m=0 → '0' zhuan(5,2): m=1 → '1' zhuan(2,2): m=0 → '0' zhuan(1,2): m=1 → '1' zhuan(0,2): return 输出'1' 输出'0' 输出'1' 输出'0' 结果：1010(base2)

4.主函数流程

intmain(){intn,r;cin>>n>>r;// 输入数字和进制cout<<n<<"=";// 输出格式zhuan(n,r);// 递归转换printf("(base%d)",r);// 输出进制return0;}

算法特点

递归实现：从低位到高位处理，但输出时从高位到低位
处理负进制：支持r为负数的情况
字符处理：10-15转为’A’-‘F’
格式规范：输出如 “10=1010(base2)” 的标准格式

【贴上代码~】

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cmath>#include<cstring>usingnamespacestd;voidzhuan(intn,intr){if(n==0)return;intm=n%r;if(m<0)m-=r,n+=r;if(m>=10)m='A'+m-10;elsem+='0';zhuan(n/r,r);printf("%c",m);return;}intmain(){intn,r;string ans="";cin>>n>>r;cout<<n<<"=";zhuan(n,r);printf("(base%d)",r);return0;//完结撒花}