定积分的定义
定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点$$a=x_0<x_1<x_2<...x_{n-1}<x_n=b,$$
把区间[a,b]分成n个小区间$$[x_0,x_1],[x_1,x_2],...,[x_{n-1},x_n],$$
各个小区间得长度依次为$$\Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,...,\Delta x_n=x_n-x_{n-1}.$$
\(在每个小区间[x_{i-1},x_i]上任取一点\xi_i(x_{i-1}\le\xi_i\le x_i),作函数值f(\xi_i)与小区间长度\Delta x_i得乘积f(\xi_i)\Delta x_i(i=1,2,...,n),并作出和\)
\[S=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i.
\]
\(记\lambda=max\{\Delta x_1,\Delta x_2,...,\Delta x_n\},如果当\lambda \to 0时，这和得极限总存在，且与闭区间[a,b]\)
\(的分法及点\xi的取法无关，那么称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分(简称积分)，记作\int_a^b f(x)dx,即\)
\[\int_a^b f(x)dx=I=lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i,
\]
其中f(x)叫做被积函数,f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间.
定理1 设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积.
定理2 设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积.