写在前面：
数学期望是一个大学内容，它在数学竞赛中都属于超纲内容，所以你几乎不会看见他，而且，由于我不会积分，所以连续性随机变量的数学期望在此处不提
1.数学期望的定义
如果离散型随机变量\(X\)的所有可能取值为\(x_1,x_2...x_n\)其出现的概率分别为\(p_1,p_2,...p_n\)那定义\(X\)的数学期望\(E(X)=\sum_i^n{x_ip_i}\)
注：如果一个随机变量的全部可能取值是有限个或可数无限个，那么这个随机变量就被称为离散型随机变量，上述的可数可理解为构造一个关于集合\(P\)和整数集\(N_*\)之间的双射\((Bijection)\),即一一映射
2.数学期望的性质
\((1).\) 常数的数学期望：\(\forall c \in R ,E(c)=c\)
\((2).\) 线性性
即\(E(\sum_i^n a_iX_i)=\sum_i^n a_iE(X_i)\)
该式实际表达了数学期望\(E(X)\)是一个线性函数
\((3).\) 独立变量的可乘性
对于两个独立变量\(X,Y\),有
\(E(XY)=E(X)E(Y)\)
3.数学期望的意义
\((1).\)数学期望描述了随机变量的集中趋势
\((2).\)数学期望本质上是概率为权重的加权平均值，出现概率越高的结果，对期望值的影响（权重）就越大
\((3).\)