2025年同等学力离散数学与组合数学---三、填空题：
2025年同等学力离散数学与组合数学
三、填空题：
（1）A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，偏序关系R是A的整除关系，该偏序包含的有序对个数为（27），最长链的长度为（4），最长链的总条数为（1）,最长反链长度为（4），最长反链的总条数为（80），。
分析：整除关系R={<1,1>,<1,2><1,3>,<1,4><1,5>,<1,6><1,7>,<1,8<1,9>,<1,10>
<2,2>,<2,4><2,6>,<2,8><2,10>,
<3,3><3,6>,<3,9>
<4,4>,<4,8>
<5,5>,<5,10>
<6,6>,<7,7><8,8>,<9,9><10,10>}
最长链的长度：链中元素个数最多的，任意两个元素互相整除。（长度为元素个数）。{1,2,4,8}
最长反链长度：反链中元素个数最多，即任意两个元素互不整除。
根据 Dilworth 定理及集合层数分布，最大反链出现在中间层。
最长反链的总条数:第一步：明确反链条件
集合 S⊆A满足：∣S∣=4
对任意 a≠b∈S，互不整除
第二步：把元素按整除层次分类
层 0：L0={1}
层 1（素数）：L1={2,3,5,7}
层 2：L2={4,6,9,10}
层 3：L3={8}
观察：
1整除所有数 → 只要包含 1，就不可能和任何元素构成反链⇒反链里一定不含 1
8被 4,2,1 整除 → 若选 8，则不能选 2,4
L1内部：素数之间互不整除，本身就是反链
L2内部：4,6,9,10 之间也互不整除，本身也是反链
第三步：分类枚举所有大小为 4 的反链
情况 1：全部选自 L1={2,3,5,7}
只有 1个集合：{2,3,5,7}共 1 条
情况 2：全部选自 L2={4,6,9,10}
只有 1 个集合：{4,6,9,10}共 1 条
情况 3：混合 L1,L2,L3，且大小为 4
因为总大小 = 4，我们按选几个L1、几个L2、几个{8}来分：
子情况 3.1：选 8
选 8⇒不能选 2,4剩余 3 个元素要从：L1′={3,5,7},L2′={6,9,10}中取 3 个，且互不整除。
可行组合：
{8,3,5,7}
{8,3,5,9}
{8,3,7,9}
{8,5,7,9}
{8,3,5,10}
{8,3,7,10}
{8,5,7,10}
{8,3,9,10}
{8,5,9,10}
{8,7,9,10}
共 10 条
子情况 3.2：不选 8，从 L1∪L2中取 4 个
设从 L1 取 k 个，L2 取 4−k个，k=1,2,3
k=1：L1 1 个 + L23个任意组合都合法，共 4×4=16 条
k=2：L12个 + L22个任意组合都合法，共 ()×(
)=6×6=36条
k=3：L13个 + L21个任意组合都合法，共 ()×4=4×4=16条
合计：16+36+16=68 条
第四步：总和
1+1+10+68=80
最终结论
在 A={1,2,…,10} 的整除偏序集中，最长反链（大小为 4）的总条数 = 80
(2)已知A的子集上的一个划分π={{1}，{2，3}，{3，4，5}} ，则π所对应的等价关系R包含的有序对个数是（14）
分析：一、核心知识点：集合的划分与等价关系是一一对应的：划分中的每个块（子集），对应等价关系中块内所有元素两两构成的有序对（包括自反对 (x,x)）。
不同块之间的元素，不存在等价关系的有序对。
二、分步计算
1.计算每个块内的有序对数量
对于一个大小为 k 的块，其内部的有序对总数为 k2（每个元素与块内所有元素配对，包括自身）。
块 {1}：大小 k=1，有序对数量 12=1对应有序对：(1,1)
块 {2,3}：大小 k=2，有序对数量 22=4对应有序对：(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)
块 {4,5,6}：大小 k=3，有序对数量 32=9对应有序对：(4,4),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)
2.总有序对数量
将各块的有序对数量相加：1+4+9=14
（3）表达式11-3t2的级数展开式中t^3项的系数是(108).
分析：根据扩展二项式1-x-n=k=0∞cn+k-1kxk
1-3t-2=k=0∞c2+3-133t3=c41⋅27⋅t3
=4*27=108