航天动力学基础（二）——角动量

目录

1.角动量

2.比角动量

3.证明比角动量守恒

物理本质：力矩为零。在物理学中，力矩是改变角动量的原因

4.证明角动量只和物体相对于原点的切向速度有关，与径向速度无关

应用：开普勒第二定律的证明

1.角动量

一个质量为m的质点，相对于空间中参考点O的角动量，定义为从O点到质点的位置矢量r与其(线)动量p=mv的叉乘：

角动量定理的微分形式为：

即质点或刚体的角动量变化率等于作用在其上的合外力矩。

即初始和末了的角动量的差值。

2.比角动量

以 𝑚1 为坐标原点，分析 𝑚2 的运动：

𝑚2​ 相对于 𝑚1​ 的角动量是：

𝑟˙是位置对时间的导数（即v）。

比角动量h就是单位质量的角动量（大小为1）：

物理意义：在轨道力学中，我们通常不关心卫星的具体质量（因为质量会被约掉），只关心其运动轨迹。h是一个非常重要的矢量，它的方向垂直于轨道平面（由右手定则确定，即图中h^ 的方向），它的大小h与轨道的形状和大小有关。

3.证明比角动量守恒

比角动量的时间导数是：

推导：

原因：速度矢量r˙ 与自身平行，平行矢量的叉乘永远为零（因为它本质上衡量的是两个矢量能围出多大的“面积”。当两个矢量平行时，它们围成的平行四边形会彻底压扁成一条线，面积自然就是零）。

公式中的r¨代表加速度 ，根据二体问题的运动方程：

值也为0

即比角动量不随时间变化，比角动量守恒，从而角动量也守恒。

物理本质：力矩为零。在物理学中，力矩是改变角动量的原因

• 力矩=r×F
• 引力方向：万有引力 F 永远指向中心天体（即沿着 r 的反方向）。
• 结果：因为力 F 和位置 r 在同一条直线上（反向平行），它们的叉乘为零。这意味着引力不产生力矩。
• 结论：既然没有外力矩，角动量（以及比角动量 ℎh ）就守恒，即保持不变。

4.证明角动量只和物体相对于原点的切向速度有关，与径向速度无关

矢量分解：

比角动量：

因此，“角动量的大小只和物体相对于原点的切向速度有关，与径向速度无关”。

应用：开普勒第二定律的证明

定义：m1​ 与 m2​ 的连线在相同时间间隔内扫过相等面积

这意味着：卫星在轨道上运行时，虽然速度时快时慢（近地点快，远地点慢），但它与中心天体的连线扫过的面积速度（单位时间扫过的面积）是一个常数。

公式展示了如何计算微小时间段 𝑑𝑡内扫过的微小面积 𝑑𝐴 ：

𝑣sin⁡𝜙 就是速度矢量在垂直于半径方向上的投影，也就是切向速度𝑣⊥ 。

这个公式极其重要，它揭示了开普勒第二定律的本质：

• 𝑑𝐴/𝑑𝑡是面积速度（单位时间扫过的面积）。
• ℎ是比角动量。我们已经证明了 ℎ 是一个常数（守恒量）。

结论：因为 ℎ 是常数，所以𝑑𝐴 / 𝑑𝑡（面积速度）也是常数。

这就是开普勒第二定律的数学证明：无论卫星走到轨道的哪个位置，它与中心天体的连线扫过面积的速度永远不变。