滤波电路与谐振电路
滤波电路
对于信号频率具有选择性的电路称为滤波电路, 其主要功能是传送输入信号中的有用频率成分, 衰减或抑制无用的频率成分.
滤波电路通常分为低通、高通、带通和带阻等多种.
由RC(电阻-电容)和RL(电阻-电感)元件可以构成四种基本的无源滤波器: 低通、高通、带通和带阻, 其中, 低通和高通滤波器是构成其他两种的基础.
低通滤波器(Low-Pass Filter, LPF)
允许低频信号通过, 衰减高频信号.
RC低通滤波器
电路结构： 信号先经过一个电阻 ®, 然后通过一个电容 © 接地, 输出信号从电容两端获取.
工作原理: 电容的容抗随频率升高而降低, 对于高频信号, 电容相当于一条通往地的低阻抗路径, 信号被"短路"到地, 因此输出很小;
对于低频信号, 电容容抗很大, 信号可以较好地出现在输出端.
截止频率公式:f_c = 1 / (2πRC)
电压传递函数:
A˙u=U˙oU˙i=1jωCR+1jωC=11+jωRC \dot{A}_u = \frac{\dot{U}_o}{\dot{U}_i} = \frac{\frac{1}{j \omega C}}{R + \frac{1}{j \omega C}} = \frac{1}{1 + j \omega RC}A˙u=U˙iU˙o=R+jωC1jωC1=1+jωRC1
RL低通滤波器
电路结构: 信号先经过一个电感 (L), 然后通过一个电阻 ® 接地, 输出信号从电阻两端获取.
工作原理: 电感的感抗随频率升高而增大.
对于高频信号, 电感会产生很大的阻碍作用, 信号主要降落在电感上, 导致输出端的信号很弱;
对于低频信号, 电感感抗很小, 信号可以顺利通过.
截止频率公式:f_c = R / (2πL)
电压传递函数:
A˙u=U˙oU˙i=RR+jωL=11+jωLR \dot{A}_u = \frac{\dot{U}_o}{\dot{U}_i} = \frac{R}{R + j \omega L} = \frac{1}{1 + j \omega \frac{L}{R}}A˙u=U˙iU˙o=R+jωLR=1+jωRL1
高通滤波器 (High-Pass Filter, HPF)
允许高频信号通过, 衰减低频信号
RC高通滤波器
电路结构: 信号先经过一个电容 ©, 然后通过一个电阻 ® 接地, 输出信号从电阻两端获取.
工作原理：电容具有"隔直通交"的特性.
对于低频信号, 电容容抗很大, 信号难以通过, 主要降落在电容上, 输出端信号很弱;
对于高频信号, 电容容抗很小, 信号可以顺利通过并在电阻上形成输出.
截止频率公式：f_c = 1 / (2πRC)
电压传递函数:
A˙u=U˙oU˙i=RR+1jωC=jωjω+1RC \dot{A}_u = \frac{\dot{U}_o}{\dot{U}_i} = \frac{R}{R + \frac{1}{j \omega C}} = \frac{j \omega}{j \omega + \frac{1}{RC}}A˙u=U˙iU˙o=R+jωC1R=jω+RC1jω
RL高通滤波器
电路结构: 信号先经过一个电阻 ®, 然后通过一个电感 (L) 接地, 输出信号从电感两端获取.
工作原理: 电感对低频信号阻碍小, 相当于通路.
低频信号会直接通过电感流入地, 输出端信号很弱;
对于高频信号, 电感感抗很大, 阻止其流入地, 信号便在输出端(电感两端)形成电压.
截止频率公式:f_c = R / (2πL)
带通与带阻滤波器
这两种滤波器可以通过组合低通和高通滤波器来实现.
带通滤波器 (Band-Pass Filter, BPF)
只允许特定频段的信号通过.
构成: 将一个高通滤波器和一个低通滤波器串联.
高通部分的截止频率 (fL) 设定通带的下限, 低通部分的截止频率 (fH) 设定通带的上限.
带阻滤波器 (Band-Stop Filter, BSF)
衰减特定频段的信号, 也称陷波滤波器.
构成: 将一个低通滤波器和一个高通滤波器并联, 然后将它们的输出相加, 低通部分允许低于 fL 的频率通过, 高通部分允许高于 fH 的频率通过, 从而在 fL 和 fH 之间形成一个阻带.
串联谐振
最常用的协整电路是串联谐振和并联谐振电路
一般情况下, 含有电感、电容的电路, 对正弦信号所呈现的组框均为复数, RLC串联的阻抗为
Z=R+jωL+1jωC=R+j(XL−XC)=R+jX Z = R + j\omega L + \frac{1}{j \omega C} = R + j(X_L - X_C) = R + j XZ=R+jωL+jωC1=R+j(XL−XC)=R+jX
阻抗模为:
∣Z∣=R2+X2=R2+(ωL−1ωC)2 |Z| = \sqrt{R^2 +X^2} = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}∣Z∣=R2+X2=R2+(ωL−ωC1)2
当感抗等于容抗, 即
ωL=1ωC \omega L = \frac{1}{\omega C}ωL=ωC1
则X=0X = 0X=0, 电路呈电阻性, 此时电压、电流同向, 工程上将这种电路工作状态称为谐振.
ω0=1LC \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}ω0=LC1
f0=ω02π=12πLC f_0 = \frac{\omega_0}{2\pi } = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}f0=2πω0=2πLC1
并联谐振
根据相量模型, 可得该电路的等效导纳为
Y=G+1jωL+jωC=G+j(ωC−1ωL)=G+j(BC−BL)=G+jB Y = G + \frac{1}{j \omega L} + j \omega C = G + j\left( \omega C - \frac{1}{\omega L}\right) = G + j\left( B_C - B_L\right) = G + jBY=G+jωL1+jωC=G+j(ωC−ωL1)=G+j(BC−BL)=G+jB
复导纳YYY的模为:
∣Y∣=G2+B2=G2+(ωC−1ωL)2 |Y| = \sqrt{G^2 +B^2} = \sqrt{G^2 + \left( \omega C - \frac{1}{\omega L}\right)^2}∣Y∣=G2+B2=G2+(ωC−ωL1)2
并联谐振的定义与串联谐振定义相同.
品质因数
通用定义
Q=XR=无功功率有功功率 Q = \frac{X}{R} = \frac{\text{无功功率}}{\text{有功功率}}Q=RX=有功功率无功功率
电感器L
Q=ωLR Q = \frac{\omega L}{R}Q=RωL
电容器C
Q=1ωCR Q = \frac{1}{\omega C R}Q=ωCR1
串联RLC谐振电路
Q=1RLC Q = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}Q=R1CL
并联RLC谐振电路
Q=RCL Q = R \sqrt{\frac{C}{L}}Q=RLC