线代中为什么左乘一个列满秩矩阵，不改变矩阵的秩？

首先给出

这里的是列满秩的矩阵，我们需要证明

证明方法一：

我们知道任何一个矩阵，只通过初等行变换，是可以化简为行最简阶梯矩阵的，即以下形式

这里的矩阵，由于是列满秩矩阵，所以把A矩阵通过初等行变换可以变为

即

所有有

证明方法二：

我们使用希尔维斯不等式

在这题里，化简得到

又因为，所以得到

证明方法三：

与同解

①若，显然；

②若，则必有

令，则，因为A列满秩，其次方程组只有零解，所以，两个方程组同解

所以

扩展：

这里我们通过转置还可以证明对应的结论：

右乘一个行满秩矩阵，不改变矩阵的秩。