基本思路：选定一个方向建系，写出这个方向上位置 \(x\) 所在平面的面积 \(f(x)\)，积分可得体积。
表面积的思路是类似的，用平面的周长对弧长积分。
圆锥
体积
记高为 \(h\)，底面半径为 \(R\)。
由祖暅原理，只需计算正圆锥的体积。（但注意表面积不具有类似的性质）
以顶点为原点，高所在直线为 \(x\) 轴，向下为正方向建系。
\(x\) 处的圆的半径是 \(x \cdot \dfrac{R}{h}\)，所以面积
\[S = \pi \dfrac{R^2}{h^2}x^2
\]
从 \(0\) 到 \(h\) 积分可得体积
\[\begin{aligned}
V &= \int_{0}^{h}\pi\dfrac{R^2}{h^2}x^2 \mathrm{d}x\\&= \pi\dfrac{R^2}{h^2} \cdot \dfrac{1}{3}h^3\\&= \dfrac{1}{3}\pi R^2h
\end{aligned}
\]
球
记半径为 \(R\)。
体积
以球心为原点建系，将球竖着切，则在 \(x\) 处竖着的圆的半径是 \(\sqrt{R^2-x^2}\)，所以面积
\[S = \pi(R^2-x^2)
\]
从 \(-R\) 到 \(R\) 积分可得体积
\[\begin{aligned}
V &= \int_{-R}^R \pi(R^2 - x^2)\mathrm{d}x \\&= 2\pi R^3 - \left.\dfrac{1}{3}\pi x^3\right|_{-R}^R\\&= 2\pi R^3 - \dfrac{2}{3}\pi R^3 \\&= \dfrac{4}{3}\pi R^3
\end{aligned}
\]
另一种思路是将球横着切，先考虑上半球。
记当前平面升高的角度是 \(\theta\)，此时圆的半径是 \(R\cos \theta\)，但还得乘上一个高度的微分。已知
\[h = R\sin \theta
\]
两边微分
\[\mathrm{d}h = R\cos\theta \mathrm{d}\theta
\]
从 \(0\) 到 \(\dfrac{\pi}{2}\) 积分再乘 \(2\) 可得体积
\[\begin{aligned}
V &= 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \pi R^2\cos^2\theta \mathrm{d}h\\&= 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \pi R^2\cos^2\theta \cdot R\cos\theta\mathrm{d}\theta \\&= 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \pi R^3\cos^3\theta\mathrm{d}\theta \\&= 2\pi R^3\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^3\theta\mathrm{d}\theta\\&= 2\pi R^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin^2\theta)\cos\theta\mathrm{d}\theta\\&=2\pi R^3 \int_0^{\frac{\pi}{2}}(1-\sin^2\theta)\mathrm{d}\sin\theta\\&= 2\pi R^3\left.\left(\sin\theta - \dfrac{\sin^3\theta}{3}\right)\right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\&= \dfrac{4}{3}\pi R^3
\end{aligned}
\]
表面积
表面积同样用横切法，考虑上半球，记当前平面升高的角度是 \(\theta\)。
相当于把很多个矩形加起来，这个矩形的长是当前圆的周长，宽是极小的一段弧长。
先求周长， 当前圆的半径是 \(R\cos\theta\)，周长
\[C = 2\pi R\cos\theta
\]
求一下弧长
\[l = R\theta
\]
两边微分
\[\mathrm{d}l = R\mathrm{d}\theta
\]
从 \(0\) 到 \(\dfrac{\pi}{2}\) 积分再乘 \(2\) 可得表面积
\[\begin{aligned}
S &= 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\pi R\cos\theta \mathrm{d}l \\&= 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\pi R\cos\theta \cdot R \mathrm{d}\theta \\&= 4\pi R^2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta \mathrm{d}\theta \\&= 4\pi R^2 \left.\sin\theta\right|_0^{\frac{\pi}{2}}\\&= 4\pi R^2
\end{aligned}
\]
任意曲线绕 \(y\) 轴旋转
薄壳法
曲线 \(C: y=x^2(x\in[0, 1],y\in[0, 1])\)，将 \(C\) 与 \(x\) 轴围成的部分绕 \(y\) 轴旋转一周，求形成的立体图形的体积。
平行于旋转轴切片，切片可以看成矩形，长 \(2\pi x\)，宽 \(x^2\)，厚度 \(\mathrm{d}x\)。从 \(0\) 到 \(1\) 积分即可得体积
\[\begin{aligned}
V &= \int_{0}^1 2\pi x^3\mathrm{d}x \\&= 2\pi \left. \dfrac{1}{4}x^4 \right|_0^1\\&= \dfrac{\pi}{2}
\end{aligned}
\]
推广到任意曲线 \(f(x) (x\in[0, a])\) 的话就是
\[V = 2\pi\int_0^a xf(x)\mathrm{d}x
\]
该方法适用于绕 \(y\) 轴旋转。
圆盘法
曲线 \(C: y=x^2(x\in[-1, 1],y\in[0, 1])\)，将 \(C\) 与 \(x\) 轴围成的部分绕 \(x\) 轴旋转一周，求形成的立体图形的体积。
垂直于旋转轴切片，切片可以看成半径为 \(x^2\) 的圆，厚度 \(\mathrm{d}x\)。从 \(-1\) 到 \(1\) 积分即可得体积
\[\begin{aligned}
V &= \int_{-1}^1 \pi x^4 \mathrm{d}x\\&= \left.\dfrac{1}{5}\pi x^5\right|_{-1}^1\\&= \dfrac{2\pi}{5}
\end{aligned}
\]
推广到任意曲线 \(f(x)(x\in[a, b])\) 的话就是
\[V = \pi\int_{a}^b f^2(x) \mathrm{d}x
\]
该方法适用于绕 \(x\) 轴旋转。
