写的是对目前我阶段的竞赛没啥用的东西，单纯为了缓解中考的压力而写，效仿知乎物理区大佬Echoes。本文基于格里菲斯、郭硕鸿、刘川（注意到难度单调递增），还有一些神秘机构的课（xes，ycd，主要想看看老师对四大的见解）
矢量分析
太简单，电磁学几乎都学过
混合积(力学就学过，但当时并不重要)：
\[A\cdot(B \times C ) = B\cdot(C \times A)=C\cdot(A \times B)= \begin{vmatrix}A_x & A_y & A_z\\B_x & B_y & B_z\\C_x & C_y & C_z
\end{vmatrix}\]
\[(A\times B)\times C=-A(B\cdot C)+B(A\cdot C)
\]
梯度（grad）：
用极限的定义不美观也不实用，不想写
\(\nabla\) 为哈密顿算子，是一个矢量算符
\[\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}
\]
定义在标量场上，为矢量场，描述函数变化最快的方向，证明简单
\[\mathrm{d}f=(\frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k})\cdot(\mathrm{d}x \mathbf{i} + \mathrm{d}y \mathbf{j} + \mathrm{d}z \mathbf{k})=(\nabla f)\cdot (\mathrm{d}\mathbf{l})=|\nabla f||\mathrm{d}\mathbf{l}|\cos \theta
\]
\(\theta\) 为两个矢量的夹角，当 \(\cos\theta=1\) 即按梯度方向变化时，\(f\) 变化最快
散度（div）：
\[\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}
\]
定义在矢量场上，为标量场。描述⽮量场 \(A\) 从所讨论点向外发散程度的强弱（源汇特性）。
\(\nabla \cdot \mathbf{A}>0时\),表示该点有散发通量的正源，反之为吸收通量的负源，为 \(0\) 则表示无源。
旋度（curl）
\[\nabla \times \mathbf{A} = \left( \frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y} \right) \mathbf{k}
\]
定义在矢量场上，为矢量场。描述矢量 \(A\) 在所讨论点涡旋程度的强弱（旋转特性）
常用公式：
二阶导数：
梯度的散度
\[\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f
\]
为 \(f\) 的拉普拉斯算子
散度的梯度（重要）
\[\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}
\]
表明梯度场是无旋场
散度的梯度（不重要）
\[\nabla (\nabla \cdot \mathbf{A})\not=\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f
\]
旋度的散度（重要）
\[\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0
\]
表明旋度场是无源场
旋度的旋度
\[\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}
\]
以上公式用 \(\nabla\) 的定义和矢量运算规则可轻松证得。