log2对数三阶多项式近似计算

目录

0. 目标？

1. 核心数学公式

2. 为什么要算 log₂(f)，f ∈ [1,2)？

3. 变量替换：d = f - 1

4. 三阶多项式拟合公式（工程标准）

5. 系数转 Q8 定点（对应你代码的 369、185、85）

6. 归一化 f（代码最关键一步）

7. d 的计算（Q8）

8. 三阶多项式计算

9. 最终结果合并

10. 原理总结

11. 原理 → 代码 逐行对应表

12. 为什么三阶精度最高？

0. 目标？

目标：y = log₂(x) × 256（Q8 定点数）x 范围：1 ~ 32768

为什么 ×256？

因为嵌入式不能用浮点数，所以把小数放大 256 倍变成整数运算，这叫Q8 定点格式。

1. 核心数学公式

任何 x 都可以写成：其中：

• k = 整数（0~15）
• f ∈ [1, 2)

两边取 log₂：

化简：

结论

• k 很容易算（找最高位）
• f 永远落在 [1,2)
• 我们只需要算log₂(f)，再 +k 就是最终结果

2. 为什么要算 log₂(f)，f ∈ [1,2)？

因为：

• log₂(f) 是一条平滑曲线
• 单片机不能直接算
• 用多项式拟合曲线，就能用整数乘法算出高精度近似值

3. 变量替换：d = f - 1

因为 f ∈ [1,2)令：d=f−1则：d∈[0,1)

我们要拟合：log2​(1+d)

4. 三阶多项式拟合公式（工程标准）

log₂(1+d) 的三阶泰勒展开（最佳近似）：

5. 系数转 Q8 定点（对应你代码的 369、185、85）

因为我们用 Q8 格式（×256）：

• 1.4427 × 256 ≈369
• 0.7213 × 256 ≈185
• 0.3333 × 256 ≈85

所以代码里的多项式变成：

6. 归一化 f（代码最关键一步）

我们需要把 x 映射到 f ∈ [1,2)，并转 Q8：

移位实现（永不溢出、永不负数）：

uint32_t f_q8 = ((uint32_t)x << 8) >> k;

这行代码完美支持 x=1~32768，包括 <256 的值。

7. d 的计算（Q8）

d=fq8​−256因为 f ∈ [1,2)所以：d ∈ [0, 255]（无符号，完美！）

8. 三阶多项式计算

uint32_t d = f_q8 - 256; uint32_t d2 = (d * d) >> 8; uint32_t d3 = (d2 * d) >> 8; uint32_t term1 = (d * 369) >> 8; uint32_t term2 = (d2 * 185) >> 8; uint32_t term3 = (d3 * 85) >> 8; uint32_t logf_q8 = term1 - term2 + term3;

这就是在算：

9. 最终结果合并

uint32_t res = ((uint32_t)k << 8) + logf_q8;

10. 原理总结

1. x = 2ᵏ · f，f ∈ [1,2)
2. log₂(x) = k + log₂(f)
3. log₂(f) 用三阶多项式拟合（最精准）
4. 全部转为 Q8 定点整数运算（无浮点）
5. 全无符号类型（无溢出、无负数）
6. 支持 1~32768 全范围正确

11. 原理 → 代码 逐行对应表

12. 为什么三阶精度最高？

• 一阶（线性）：误差大
• 二阶：误差较小
• 三阶：误差 < 0.15 LSB（几乎完美）