深度学习篇---矩阵的魔法

我们可以把乘以特殊矩阵想象成对一张图片或一个图形施加“魔法指令”——这些指令藏在矩阵里，乘上坐标向量后，图形就会按我们想要的方式变形。

下面我会从二维平面（2D）开始介绍，最后提一下三维（3D）。为了直观，我们用列向量表示一个点，变换后的新点为。

1. 恒等矩阵（什么都不做）

就像乘以1一样，原封不动。占个位置，后面有用。

2. 缩放（Scale）——拉长或压扁

• sx=2,sy=1：水平拉长一倍，垂直不变。

• sx=0.5,sy=0.5：整体缩小到一半。

• 若 sx=sy，是均匀缩放（像放大镜）；若不等，叫非均匀缩放（像把正方形变成长方形）。

3. 旋转（Rotation）——绕原点转动

绕原点逆时针转 θ 角度：

例子：θ=90°（cos⁡=0,sin⁡=1）

点 (1,0)→ (0,1)，确实逆时针转90度。

注意：这是绕原点旋转。如果想绕任意点旋转，需要先平移、再旋转、再平移回去（见齐次坐标部分）。

4. 对称（Reflection）——镜像翻转

对称可看作特殊缩放（负系数）。

• 关于x轴对称（上下翻转）：

(x,y)→(x,−y)

• 关于y轴对称（左右翻转）：

(x,y)→(−x,y)

• 关于直线 y=x 对称（交换坐标）：

(x,y)→(y,x)

• 关于原点对称（中心对称）：

相当于旋转180°。

5. 剪切（Shear）——让图形“倾斜”

像把一副扑克牌推歪，面积不变但形状变平行四边形。

• 水平剪切（y不变，x随y线性增加）：

x′=x+ky,y′=y

• 垂直剪切（x不变，y随x线性增加）：

x′=x,y′=kx+y

例子：单位正方形 (0,0),(1,0),(1,1),(0,1)经水平剪切 k=1k=1 后变为 (0,0),(1,0),(2,1),(1,1)，变成一个斜的四边形。

6. 投影（Projection）——压扁到一条线或一个点

• 投影到x轴（y变为0）：

• 投影到y轴：

• 投影到直线 y=x：

（会丢失垂直方向的信息）

7. 错切与拉伸的组合——仿射变换

上面所有操作（旋转、缩放、对称、剪切）都是线性变换，可以用2×2矩阵表示，它们共同特点是：保持原点不动、直线映射为直线。

但现实中我们还需要平移（移动位置）。平移不是线性变换（因为 0⃗ 必须映射到 0⃗），于是引入齐次坐标：把二维点 (x,y) 写为 (x,y,1)，用3×3矩阵：

左上2×2做线性变换，右边两列做平移。这样就能组合出任意仿射变换（旋转+平移 = 绕任意点旋转；缩放+平移 = 关于任意点缩放）。

8. 三维中的类似操作

概念完全一样，只是矩阵变成3×3（线性）或4×4（仿射+透视）。

• 缩放：对角矩阵 diag(sx,sy,sz)

• 旋转：绕x、y、z轴各有旋转矩阵（例如绕z轴旋转类似二维，但z不变）

• 对称：关于xy平面等（z取负）

• 剪切：例如 x′=x+ky，其他不变

• 投影：从3D投影到2D（用于相机成像）

一个直观总结（重要性质）

• 行列式：

  • 行列式绝对值 = 面积（2D）或体积（3D）缩放倍数

  • 行列式为1 → 保面积（旋转、剪切）

  • 行列式为0 → 压扁到更低维（投影）

• 正交矩阵（如旋转、反射）：保持长度和角度不变，逆矩阵 = 转置

• 可逆性：只要行列式不为0，变换可逆（可恢复原图）

实际应用小例子

• 计算机图形学：一个3D模型乘上模型矩阵（缩放→旋转→平移）放到世界，再乘视图矩阵（相机位置），再乘投影矩阵（透视）变成屏幕2D。

• 图像处理：旋转照片、水平翻转自拍（对称）。

• 机器人运动学：每个关节的变换就是一个个矩阵相乘。

• 数据增强（机器学习）：随机对图片做剪切、旋转、缩放来增加训练样本。