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泛函分析3-5 内积空间-可分的希尔伯特空间

news 2026/4/27 13:13:24

第三章第五节可分的希尔伯特空间

线性无关组的正交化算法

定理1
设 \(\{x_n\}\) 是 Hilbert 空间 \(H\) 中的可数子集, 则在 \(H\) 中存在标准正交列 \(\{e_n\}\), 使得 \(\{e_n\}\) 与 \(\{x_n\}\) 张成的子空间相同.

证明
利用 Gram--Schmidt 正规正交化算法, 找到一组标准正交列.

设 \(x_{n_1}\) 是 \(\{x_n\}\) 中的第一个不等于零的元素, 记

\[e_1=\frac{x_{n_1}}{\|x_{n_1}\|}, \]

记 \(M_1=\operatorname{span}\{e_1\}=\operatorname{span}\{x_{n_1}\}\). 设 \(x_{n_2}\) 是 \(\{x_n\}\) 中第一个不属于 \(M_1\) 的元素, 令

\[h_2=x_{n_2}-(x_{n_2},e_1)e_1, \tag{3.5.1} \]

则 \(h_2\neq 0\), 且 \((h_2,e_1)=0\), 故可令

\[e_2=\frac{h_2}{\|h_2\|}. \]

记 \(M_2=\operatorname{span}\{e_1,e_2\}=\operatorname{span}\{x_{n_1},x_{n_2}\}\). 继续上面的做法, 我们得到

\[h_k=x_{n_k}-\sum_{i=1}^{k-1}(x_{n_k},e_i)e_i\qquad (k=3,4,\dots), \tag{3.5.3} \]

其中 \(h_k\neq 0\), 且 \(h_k\perp e_i\)（\(i=1,2,\dots,k-1\)）, 再令

\[e_k=\frac{h_k}{\|h_k\|}. \tag{3.5.4} \]

如果 \(\{x_n\}\) 张成的子空间是有限维的, 则以上做法经过有限次将停止. 如果是无穷维的, 则一直做下去, 得到标准正交列 \(\{e_n\}_{n\ge 1}\). 由于对于每一个 \(k\), \(e_k\) 可以由 \(\{x_{n_1},x_{n_2},\dots,x_{n_k}\}\) 线性表示, 并且每一个 \(x_{n_k}\) 也可用 \(\{e_1,e_2,\dots,e_k\}\) 线性表示, 所以 \(\{e_n\}\) 与 \(\{x_n\}\) 张成相同的子空间.

注
定理中由线性无关集得到标准正交系的方法称为 Gram--Schmidt 正规正交化算法.

例1（Legendre 多项式）
在 \(L^2[-1,1]\) 空间中, 考虑下列可数子集,

\[x_1(t)=1,\quad x_2(t)=t,\quad x_3(t)=t^2,\quad x_4(t)=t^3,\dots, \]

显然它们是线性无关的. 根据 Gram--Schmidt 正规正交化算法,

\[e_1=\frac{x_1}{\|x_1\|},\qquad h_k=x_k-\sum_{i=1}^{k-1}(x_k,e_i)e_i,\qquad e_k=\frac{h_k}{\|h_k\|}\quad (k=2,3,\dots), \]

我们可以得到一个由多项式组成的正交列 \(\{e_n\}\), 由正交化程序可知多项式 \(e_n\) 的次数正好是 \(n-1\), 且

\[\operatorname{span}\{e_n\}=\operatorname{span}\{x_n\}. \]

由于多项式的全体在 \(L^2[-1,1]\) 稠密, 于是在可知 \(\overline{\operatorname{span}\{e_n\}}=L^2[-1,1]\), 根据正交基的定义, 多项式正交列 \(\{e_n\}\) 是 \(L^2[-1,1]\) 中的正交基.

通过计算我们可以得到:

\[e_{n+1}(t)=\sqrt{\frac{2n+1}{2}}P_n(t),\qquad \text{其中 } P_n(t)=\frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dt^n}(t^2-1)^n. \tag{3.5.5} \]

\(P_n\) 是 \(n\) 阶的 Legendre 多项式. 通过分部积分等计算可直接验证 \((P_n,P_m)=0\)（\(n\neq m\)）, \(\|e_n\|=1\), 因此它们构成 \(L^2[-1,1]\) 中的一个正交列. 其中

\[\begin{aligned} P_0(t)&=1, & P_1(t)&=t,\\ P_2(t)&=\tfrac12(3t^2-1), & P_3(t)&=\tfrac12(5t^3-3t),\\ P_4(t)&=\tfrac18(35t^4-30t^2+3), & P_5(t)&=\tfrac18(63t^5-70t^3+15t). \end{aligned} \]

注
可以验证 Legendre 多项式是 Legendre 方程

\[(1-t^2)P_n''-2tP_n'+n(n+1)P_n=0 \tag{3.5.6} \]

的解.

注
在 \(L^2[a,b]\) 空间, 令

\[q_n(t)=\sqrt{\frac{2}{b-a}}\,P_n\!\left(1+2\frac{t-b}{b-a}\right),\qquad n=0,1,2,\dots, \]

则 \(\{q_n\}\) 是 \(L^2[a,b]\) 空间的标准正交基.

可分的希尔伯特空间与 \(l^2\) 等距同构

定理2
设 \(H\) 是一个 Hilbert 空间, 则 \(H\) 是可分的当且仅当 \(H\) 中有至多可数的标准正交基 \(S\).

如果 \(S\) 中元素的个数 \(N<\infty\), 则 \(H\) 等距同构于 \(\mathbb K^N\)（\(\mathbb K\) 是线性空间的数域）；如果 \(N=\infty\), 则 \(H\) 等距同构于 \(l^2\).

证明
“\(\Rightarrow\)” 从可分来证明 \(H\) 中有至多可数的标准正交基.

(1) 由可分的定义, 设 \(\{x_n\}_{n\ge1}\) 是 \(H\) 中的可数稠密子集. 则其中必存在一个线性无关的子集 \(\{y_n\}_{n=1}^N\)（\(N<\infty\) 或 \(N=\infty\), 即至多可数个）, 使得

\[\overline{\operatorname{span}\{y_n\}_{n=1}^N}=\overline{\operatorname{span}\{x_n\}_{n\ge1}}=H. \tag{3.5.7} \]

(2) 根据定理1, 由 \(\{y_n\}\) 可以构造出一个标准正交列 \(\{e_n\}_{n=1}^N\), 且

\[\overline{\operatorname{span}\{e_n\}_{n=1}^N}=\overline{\operatorname{span}\{y_n\}_{n=1}^N}=H. \tag{3.5.8} \]

所以 \(\{e_n\}_{n=1}^N\) 是 \(H\) 的标准正交基.

“\(\Leftarrow\)” 由 \(H\) 中有至多可数的标准正交基来证明 \(H\) 是可分的.

设 \(\{e_n\}_{n=1}^N\)（\(N<\infty\) 或 \(N=\infty\), 以下不妨设 \(N=\infty\)）是 \(H\) 中的一组标准正交基. 则集合

\[A=\left\{x=\sum_{n=1}^k a_ne_n\,\middle|\, \Re a_n\text{ 与 }\Im a_n\text{ 都是有理数}\right\} \tag{3.5.9} \]

是 \(H\) 中的可数稠密子集. 事实上, 对于任何的 \(y\in H\) 和任意 \(\varepsilon>0\), 因为 \(\{e_n\}\) 是 \(H\) 中的标准正交基, 于是

\[y=\sum_{n=1}^{\infty}\beta_ne_n,\qquad \sum_{n=1}^{\infty}|\beta_n|^2<\infty. \]

这样存在正整数 \(K\), 使得 \(\sum_{n=K+1}^{\infty}|\beta_n|^2<\varepsilon^2/2\). 再取实部和虚部都是有理数的 \(a_n\) 使得 \(\sum_{n=1}^K|\beta_n-a_n|^2<\varepsilon^2/2\), 记 \(x=\sum_{n=1}^K a_ne_n\in A\). 则

\[\|y-x\|^2=\sum_{n=1}^K|\beta_n-a_n|^2+\sum_{n=K+1}^{\infty}|\beta_n|^2<\varepsilon^2. \]

这说明 \(A\) 在 \(H\) 中稠密. 从而 \(H\) 是可分的.

对标准正交基 \(\{e_n\}_{n=1}^N\)（\(N<\infty\) 或 \(N=\infty\)）, 定义映射

\[T:x\mapsto \{(x,e_n)\}\qquad (x\in H). \tag{3.5.10} \]

容易验证 \(T\) 是从 \(H\) 到 \(\mathbb K^N\)（当 \(N<\infty\)）或到 \(l^2\)（当 \(N=\infty\)）的一对一到上的线性同构. 根据 Parseval 等式, 我们有

\[\|x\|^2=\sum_{n=1}^N |(x,e_n)|^2=(Tx,Tx). \tag{3.5.11} \]

所以 \(T\) 还是等距同构.