scheme区间算术

接着考虑区间算术的内容。
练习2.13 在误差为很小的百分数的条件下，存在着一个简单公式，利用它可以从两个被乘区间的误差算出乘积的百分数误差值
这个问题比较像一个纯粹的数学题，跟我们构建过程或者函数没有什么关系，但不妨碍我们试着解答它。
假设两个区间的分别是c1、c2，误差分别为p1、p2，则实际值分别是（c1-c1p1,c1+c1p1)、(c2-c2p2,c2+c2p2)
根据区间的定义，乘积为((c1-c1p1)(c2-c2p2),(c1+c1p1)(c2+c2p2))
则相对误差的算法(c1c2)P=((c1-c1p1)(c2-c2p2),(c1+c1p1)*(c2+c2p2)),经过化简P=p1+p2+p1p2
当p1、p2都很小时，趋近于0的情况下，p1p2为p1、p2的高阶无穷小，因此P≈p1+p2

练习2.14 一名叫做lem的用户指出了Alyssa程序的问题，题目建议用A/A和A/B进行计算查看。
显然A/A这个同一个区间做除法应该等于1，但根据Alyssa的计算方式：

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(define (div-interval x y)(mul-interval x(make-interval (/ 1.0 (upper-bound y))(/ 1.0 (lower-bound y)))))

代入一下A(5,10)，得出的答案是一个区间(0.5,2)。这个计算方法确实有一定缺陷。

练习2.15 另一用户Eva注意到了，由不同的等价代数表达式计算出的区间的差异。如果一个公式可以写成一种形式，其中具有非准确性的变量不重复出现，那么Alyssa的系统产生出的区间的限界更紧一些。因此她认为，在计算并联电阻时，par2比par1更好。
先看par2和par1：

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(define (par1 r1 r2)(div-interval (mul-interval r1 r2)(add-interval r1 r2)))
(define (par2 r1 r2)(let ((one (make-interval 1 1)))(div-interval one(add-interval (div-interval one r1)(div-interval one r2)))))

这里的非准确性的变量指的显然是原本的r1、r2（因为在实际计算中，r1、r2是存在误差的），所以在par2中定义了一个变量one（1，1），这个one在计算中不会对区间造成扩大误差的影响。 这里假定一个区间r1(5,10),one/r1=（1，1）/（5，10）→（1/5，1/10），显然one/one/r1=r1，期间不会发生误差扩大的情况。而如果是通过原公式，r1*r2/(r1+r2),在r1=r2的情况下可以化简为r1²/2r1,根据上2.14里的练习可以发现，在r1/r1这一步就会发生一定的误差扩大。因此在计算电阻的情况下，1/（1/r1+1/r2）的式子会比原式更好。

练习2.16 请给出一个一般性的解释：为什么等价的代数表达式可能导致不同的计算结果？能否设计出一个区间算数包使之没有这种缺陷？
这又是一个比较偏数学的问题，我个人的理解如下：使用非准确性的变量会导致计算过程中区间扩大，造成误差，因此等价的表达式可能导致不同的结果，要消除这种缺陷，需要算数包能够尽可能化简式子，尽可能或者只使用准确的区间值进行计算。