生活中总有一些瞬间，它们不承载重大意义，不解决实际问题，甚至难以被语言精确捕捉——只是心头悄然一动，如微风过水，如尘埃落定前的片刻悬停。这样的刹那，无人赠予，也无法刻意寻得，却在日复一日的庸常里，留下几乎不见却擦抹不掉的印痕。有人把这称为“何意味时刻”。
你的“何意味时刻”又在哪里……（持续连载中）
（本段不是谜题的一部分）由于此博客为魔怔博客，过程可能不易理解，如果想理解可以评论区询问 .
一 \(f(x)=\frac12\mathrm e^{2x+1}-x^2+\frac74\)，\(f(x_1)+f(x_2)=4\)，求证：\(x_1+x_2<1\) .
sol
\[\begin{aligned}0&=f(x_1)+f(x_2)-4\\&=\tfrac12\mathrm e^{2x_1+1}-x_1^2+\tfrac12\mathrm e^{2x_2+1}-x_2^2-\tfrac12\\&>\tfrac12(1+(2x_1+1)+\tfrac12(2x_1+1)^2+\tfrac16(2x_1+1)^3)-x_1^2\\&\quad+\tfrac12(1+(2x_2+1)+\tfrac12(2x_2+1)^2+\tfrac16(2x_2+1)^3)-x_2^2-\tfrac12\\&=(2x_1+1)+\tfrac16(2x_1+1)^3+(2x_2+1)+\tfrac16(2x_2+1)^3\end{aligned}
\]
二 \(a>0,\,b\in\mathbb R\)，\(\forall x>0,\,(x-a)\ln x\ge b-a\)，\(\operatorname{maximize}\;b+2a\) .
sol
\[\begin{aligned}\mathrm{ans}&=\max_{a>0}\min_x((x-a)\ln x+3a)\\&=\min_x\max_{a>0}((3-\ln x)a+x\ln x)\\&=\min_{x\ge\mathrm e^3}x\ln x\\&=3\mathrm e^3\end{aligned}
\]