微积分自学笔记(18)：曲面积分

第14章 曲面积分

本文作者：黄邦勇帅(原名：黄勇)，读者意见可发至
本文旨在以通俗的语言将讲解微积分，尽量以零起点角度将复杂的微积分讲解明白。

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本人能力有限，其中难免有误解之处，望指出更正。

本章总假设被积函数是连续的，即被积函数的积分都是存在的。
积分，简单点理解就是指的求和(只不过还有求极限等其他规则，但其根本是求和)。单次的定积分是在数轴上的一个区间上进行积分(即在一段区间范围内求和)，而重积分将其积分区间扩大到平面或空间中的一个区域的情形。本章将讲解在一片曲面上的积分的情形。注：本章所述的曲面均是指的具有有限面积的曲面且曲面有界，并且假定曲面的边界曲线是分段光滑的闭曲线。本章还假设曲面总是可求面积的(光滑曲面就是可求面积的)。分片光滑曲面是指由有限个光滑曲面所组成的曲面。若未特殊说明，本章所讨论的曲面总认为是双侧的。

14.1 曲面的定侧和定向

注意：虽然曲面的定向和定侧通常都是指的相同的意思，但在本小节，曲面的定向和曲面的定侧是两个概念，需要严格区分。

14.1.1 曲面的定侧

14.1.2 曲面的定向

14.1.3 分片光滑曲面的定侧和定向

14.2 曲面的面积

本小节的重点是曲面面积元素公式及其推导。曲面面积的定义思想也需要注意。

14.2 1 曲面面积的定义

14.2.2 曲面面积的计算(曲面的面积元素)

14.3 第一类曲面积分(数量值函数的曲面积分)

(第一类曲面积分或对面积的曲面积分)

14.3.1 第一类曲面积分的定义及性质

1、类似于第一类曲线积分，第一类曲面积分可用于计算光滑曲面的质量，从略。

14.3.2 第一类曲面积分的计算方法

14.4 第二类曲面积分(向量值函数在定向曲面上的积分)

(第二类曲面积分或对坐标的曲面积分)

14.4.1 第二类曲面积分的产生思想、定义及性质

14.4.2 第二类曲面积分的计算方法

14.4.3 两类曲面积分间的联系及第二类曲面积分的其他计算方法

14.5 高斯公式

14.5.1 高斯公式

14.5.2 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件

14.6 斯托克斯公式

14.6.1 斯托克斯公式

14.6.2 空间曲线积分与路径无关的条件

14.7 场论初步

14.7.1 场的概念

14.7.2 梯度场

14.7.3 散度场与通量(流量)

14.7.4 旋度场与环流量

14.7.5 位势场(有势场)和数量势

14.7.6 管量场和向量势

14.7.7 向量微分算子概述

作者：黄邦勇帅(原名：黄勇)
2026年04月08日

参考文献
1、 《微积分学教程》(第一卷 第8版) Γ. M. 菲赫金哥尔茨 著 杨弢亮 叶彥谦 译 郭思旭 校 高等教育出版社 2006年1月第3版
2、 《微积分学教程》(第二卷 第8版) Γ. M. 菲赫金哥尔茨 著 徐献瑜 冷生明 梁文骐 译 郭思旭 校 高等教育出版社 2006年1月第2版
3、 《微积分学教程》(第三卷 第8版) Γ. M. 菲赫金哥尔茨 著 路可见 余家荣 吴亲仁 译 郭思旭 校 高等教育出版社 2006年1月第2版
4、 《数学分析》第5版 上册 华东师范大学数学科学学院 编 高等教育出版社 2019年5月第5版
5、 《数学分析》第5版 下册 华东师范大学数学科学学院 编 高等教育出版社 2019年5月第5版
6、 《高等数学》(第七版 上册) 同济大学数学系编 高等教育出版社 2014年7月第7版
7、 《高等数学》(第七版 下册) 同济大学数学系编 高等教育出版社 2014年7月第7版
8、 《数学分析》(第一卷 第7版) B.A. 卓里奇 著 李植 译 高等教育出版社 2019年2月第1版
9、 《数学分析原理》(第一卷 第9版) Γ. M. 菲赫金哥尔茨 著 吴亲仁 陆秀丽 丁寿田 译 高等教育出版社 2013年3月第2版
10、 《托马斯微积分》 第10版 FINNEY WEIR GIORDANO 著 叶其孝 王耀东 唐兢译 高等教育出版社 2003年8月