威尔逊定理
p=2显然成立，以下仅考虑p>=3。
(p-1)! =-1 (mod p)
123...(p-1) 一共有p-1个数。
由于p是素数，(a, p) = 1，固 ax=1 (mod p) 有唯一解，即每个数都有一个逆元。
首先，对于方程 x^2=1 (mod p) 只有两个解 x=±1，意味着只有 x=±1 的逆元是本身，其他的元都需要和别的数配对。
也就意味着从2~p-2正好构成 (p-3)/2 对互为逆元的数对。
因此：123...(p-1) = p-1。
即 （p-1)! = p-1 = -1 (mod p)
简单推论 (p-2)! = 1 (mod p)
费马小定理
对于 1~p-1 的两个数a,b，如果 a!=b，则对任意 x 在 1~p-1 之间有 xa!=xb，这是因为如果 xa=xb，则通过乘以x的逆元，会得到 a=b。
因此 将 1~p-1 的每个数与x相乘会得到不同的 p-1 个数，这必然正好对应于 1~p-1。
所以有 x^(p-1) * (p-1)! = (p-1)!。
消去 (p-1)! 即得 x^(p-1) = 1。
素数的逆元
由费马小定理 x^(p-1) = 1，
x*x^(p-2) = 1，
所以 x^-1 = x^(p-2)。