电流环PI参数自整定及时域频域分析
简介：本文介绍PMSM简化后的电流环PI参数自整定的推导证明，以及时域频域的简单分析。
一、电流环PI参数自整定推导
这里贴出上一文章电机数学模型中公式1-3如下
\[\begin{align*}& {{u}_{d}}=R{{i}_{d}}+{{L}_{d}}\frac{d}{dt}{{i}_{d}}\underbrace{-{{\omega }_{e}}{{L}_{q}}{{i}_{q}}}_{交叉耦合项} \\ & {{u}_{q}}=R{{i}_{q}}+{{L}_{q}}\frac{d}{dt}{{i}_{q}}\overbrace{+{{\omega }_{e}}({{L}_{d}}{{i}_{d}}+{{\psi }_{f}})}^{交叉耦合项} \tag{1-1}
\end{align*}
\]
首先呢，要简化一下，忽略掉交叉耦合项（当然可以解耦控制，这里为了方便讲解电流环先简化）
简化后为：
\[\begin{align*}& {{u}_{d}}=R{{i}_{d}}+{{L}_{d}}\frac{d}{dt}{{i}_{d}} \\ & {{u}_{q}}=R{{i}_{q}}+{{L}_{q}}\frac{d}{dt}{{i}_{q}}\tag{1-2}
\end{align*}
\]
对公式1-2进行拉普拉斯变换
\[\begin{align*}& {{V}_{d}}(s)=R{{I}_{d}}(s)+{{L}_{d}}s{{I}_{d}}(s) \\ & {{V}_{q}}(s)=R{{I}_{q}}(s)+{{L}_{q}}s{{I}_{q}}(s) \tag{1-3}
\end{align*}
\]
将上式1-3变换一下
\[\begin{align*}& \frac{{{I}_{d}}(s)}{{{V}_{d}}(s)}=\frac{1}{R+{{L}_{d}}s} \\ & \frac{{{I}_{q}}(s)}{{{V}_{q}}(s)}=\frac{1}{R+{{L}_{q}}s} \tag{1-4}
\end{align*}
\]
式1-4是图1中电流环传递函数框图中的电机模块部分，除此之外，还有PID控制器的传递函数：
\[{{K}_{P}}+\frac{{{K}_{I}}}{s}\tag{1-5}
\]
SVPWM调制模块的近似传递函数，这是零阶保持器（ZOH）的一阶惯性近似，对应 PWM 更新带来的半拍延迟：
\[\frac{{{K}_{pwm}}}{0.5{{T}_{s}}s+1}\tag{1-6}
\]
以及离散系统带来的一拍延迟，这是数字控制中采样 / 计算延迟的一阶惯性近似：
\[\frac{1}{{{T}_{s}}s+1}\tag{1-7}
\]
其中Kpwm不考虑非线性情况下，理想化等于1。
这里呢，再做一步简化，如图2所示，将调制模块和一拍延迟也近似整合。
这里解释下为什么，正常来讲，式1-6和1-7两个串联，应该是
\[{{G}_{串}}=\frac{{{K}_{pwm}}}{(0.5{{T}_{s}}s+1)({{T}_{s}}s+1)}=\frac{{{K}_{pwm}}}{0.5{{T}_{s}}^{2}{{s}^{2}}+1.5{{T}_{s}}s+1}\tag{1-8}
\]
近似的核心依据：数字控制中，电流环采样周期 Ts 通常远小于电机的电气时间常数$${{\tau }_{e}}=\frac{L}{R}$$，且系统闭环带宽 \({{\omega }_{c}}\) 远低于 1/Ts。
此时：在系统工作频率 ω≪1/Ts 范围内，\({T}_{s}\omega\) ≪1，因此 \(0.5{{T}_{s}}^{2}{{s}^{2}}\)（二次项）的模值远小于\(1.5{{T}_{s}}s\)（一次项），所以可以忽略二次项。也就是
\[{{G}_{近似}}=\frac{{{K}_{pwm}}}{1.5{{T}_{s}}s+1}\tag{1-9}
\]
到这一步呢，我们食材准备妥当了，接下来梳理下如何去实现PI参数自整定的目标。
首先，依据陈伯时老师的《电力拖动自动控制系统--运动控制系统（第5版）》中p64-67章节4.3.2阐述的理论--工程整定法，
针对典型I型系统，其开环传递函数如1-10，书中p67表4-1中一般取用\(\zeta\)=0.707，即KT=0.5的参数作为最佳整定。
这就是我们进行参数自整定的核心依据，也是我们推导的目标（文章第二部分另行补充证明为什么这样最佳整定）。
\[W(s)=\frac{K}{s(Ts+1)}\tag{1-10}
\]
回顾前面图2，系统开环传递函数（不含PID控制器部分）由电机1-4和近似部分1-9组成如下：
\[{{G}_{开环}}=\frac{{{K}_{pwm}}}{1.5{{T}_{s}}s+1}\times \frac{1}{R+Ls}=\frac{{{K}_{pwm}}}{R(1.5{{T}_{s}}s+1)(\frac{L}{R}s+1)}\tag{1-11}
\]
将1-11对比式1-10，发现，要想实现典型I型环节，就得想办法去掉一个分母项（As+1），这时，PID控制部分作用就来了，引入式1-5到1-11中，得
\[\begin{align*}& {{G}_{电流环}}=\frac{{{K}_{pwm}}}{R(1.5{{T}_{s}}s+1)(\frac{L}{R}s+1)}({{K}_{P}}+\frac{{{K}_{I}}}{s}) \\ & \ \ \ =\frac{{{K}_{pwm}}}{R(1.5{{T}_{s}}s+1)(\frac{L}{R}s+1)}\times \frac{{{K}_{I}}(\frac{{{K}_{P}}}{{{K}_{I}}}s+1)}{s} \tag{1-12}
\end{align*}
\]
对照1-10，仅需要1-12中
\[(\frac{{{K}_{P}}}{{{K}_{I}}}s+1)=(\frac{L}{R}s+1)\tag{1-13}
\]
即可实现目标
\[{{G}_{电流环}}=\frac{\frac{{{K}_{pwm}}{{K}_{I}}}{R}}{s(1.5{{T}_{s}}s+1)}\tag{1-14}
\]
也就是要满足：
\[\begin{align*}& \frac{{{K}_{P}}}{{{K}_{I}}}=\frac{L}{R} \\ & \frac{{{K}_{pwm}}{{K}_{I}}}{R}=K \\& 1.5{{T}_{s}}=T \tag{1-15}
\end{align*}
\]
之前我们说了，Kpwm取1，陈伯时老师书中所提的取用\(\zeta\) =0.707，即KT=0.5，代入1-15，即可得到KpKi参数
\[\begin{align*}& \frac{{{K}_{P}}}{{{K}_{I}}}=\frac{L}{R},\frac{{{K}_{I}}}{R}1.5{{T}_{s}}=0.5 \\ & \Rightarrow \\ & {{K}_{I}}=\frac{R}{3{{T}_{s}}},{{K}_{P}}=\frac{L}{3{{T}_{s}}} \tag{1-16}
\end{align*}
\]
至此，电流环PI参数自整定推导完毕（中间很多简化忽略项等，本文是一种常见的思路，重在推导和思路学习）。
二、最佳整定补充证明
另外补充，对于典型I型系统开环传函即公式1-10，用\(\zeta\)=0.707、KT=0.5为什么稳定最佳。
如图3所示，这里闭环取单位负反馈（-1），那么图3中的闭环传函则是
\[{{G}_{闭环}}=\frac{{{G}_{开环}}}{1+{{G}_{开环}}}=\frac{\frac{K}{s(Ts+1)}}{1+\frac{K}{s(Ts+1)}}=\frac{\frac{K}{T}}{{{s}^{2}}+\frac{1}{T}s+\frac{K}{T}}\tag{1-17}
\]
回想上学时，学到经典控制理论中的频域分析，对于下面二阶系统
\[\Phi (s)=\frac{{{\omega }_{n}}^{2}}{{{s}^{2}}+2\zeta {{\omega }_{n}}s+{{\omega }_{n}}^{2}}\tag{1-18}
\]
将1-18对照1-17，可得到
\[\begin{align*}& {{\omega }_{n}}^{2}=\frac{K}{T} \\ & 2\zeta {{\omega }_{n}}=\frac{1}{T} \tag{1-19}
\end{align*}
\]
如图4，这里呢我手绘了一些，方便在根轨迹图中理解，阻尼比 $\zeta $ 对应的输出大致轨迹我也画出来了。
可以看出，当0<$\zeta \(<1（欠阻尼）的时候，如红色曲线，有超调、但很快收敛（经典曲线），根据书中p67表4-1，\)\zeta\(=0.707时，超调\)\sigma $=4.3%，比较均衡（书中有一大段文字分析解释，感兴趣可以去看看这本书，非常好）。所以有
\[2\times 0.707\times \sqrt{\frac{K}{T}}=\frac{1}{T}\quad \Rightarrow \sqrt{KT}=\frac{1}{2\times 0.707}\Rightarrow \quad KT=0.5\tag{1-20}
\]
证毕。
三、时域分析一阶惯性环节的特性
再另外补充，为什么说电机本身是一阶惯性环节，以及分析它的特性。
回顾公式1-4，忽略耦合项等，电机可以看作由电阻、电感组成的一阶惯性环节
\[G(s)=\frac{{{I}_{d}}(s)}{{{V}_{d}}(s)}=\frac{1}{R+Ls}=\frac{\frac{1}{R}}{\frac{L}{R}s+1}\tag{1-21}
\]
对照典型一阶惯性环节形式
\[W(s)=\frac{K}{Ts+1}\tag{1-22}
\]
可以得到，增益$$K=\frac{1}{R}$$，时间常数（也常用$\sigma \(表示）\)\(T=\frac{L}{R}\)$。
前面我们一直频域分析，现在换个角度，从时域分析看看输入输出特性如何（给一个阶跃激励，看响应）
对于输入，给定单位阶跃激励信号（幅值1），其时域形式和频域的传函如下：
\[\begin{align*}& r(t)=\left\{ \begin{matrix}1 \\0 \\
\end{matrix} \right.\quad \begin{matrix}t\ge 0 \\t<0 \\
\end{matrix} \\ & r(s)=\frac{1}{s} \tag{1-23}
\end{align*}
\]
那么阶跃响应（输出）为
\[C(s)=G(s)r(s)=\frac{1}{s(Ls+R)}\tag{1-24}
\]
在反拉氏变换将其转换成时域之前，先对1-24做一点变形处理，假设
\[\frac{1}{s(Ls+R)}=\frac{A}{s}+\frac{Bs+C}{Ls+R}=\frac{B{{s}^{2}}+(AL+C)s+AR}{s(Ls+R)}\tag{1-25}
\]
则有
\[\left\{ \begin{align*}& B=0 \\ & AL+C=0\quad \Rightarrow \\ & AR=1 \\
\end{align*} \right.\left\{ \begin{matrix}A=\frac{1}{R} \\B=0 \\C=-\frac{L}{R} \\
\end{matrix} \right.\tag{1-26}
\]
那么式1-24可变换为如下：
\[\frac{1}{s(Ls+R)}=\frac{\frac{1}{R}}{s}-\frac{\frac{L}{R}}{Ls+R}=\frac{1}{R}(\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{R}{L}})\tag{1-27}
\]
参照反拉氏变换表，得到时域形式
\[y(t)=\frac{1}{R}(1-{{e}^{-\frac{R}{L}t}})\quad (t\ge 0)\tag{1-27}
\]
如图5，可以从时域中看出，一阶惯性环节的阶跃响应，天然没有超调，不存在突变。
\[\frac{1}{R}$$决定了响应的趋近值（幅值）， $$\frac{R}{L}$$决定了响应的斜率（调节时间和上升时间）。相应的，二阶或高阶系统也可以时域分析，就是很难画响应曲线图，不直观，所以还是在频域分析比较好。结尾：如有理解或书写错误，欢迎各位看官指出，感谢！
\]
