概率论：二维随机变量

目录

一、二维随机变量分布函数的定义与性质

（1）联合分布函数函数及其几何意义

（2）联合分布函数的性质

（3）二维离散型随机变量

（4）二维连续型随机变量

二、边缘分布

（1）边缘分布的定义

（2）离散型的边缘分布列

（3）连续型的边缘密度函数

三、条件分布

（1）离散型的条件分布列

（2）连续型的条件密度函数

四、随机变量的独立性

二维随机变量是概率论中从单变量走到多变量的关键一步，它将单随机变量的线性特征转变成为两个随机变量的面特征。

一、二维随机变量分布函数的定义与性质

（1）联合分布函数函数及其几何意义

在一维随机变量中，我们是用一重积分（变上限积分）来表示他的分布函数的，我们可以理解成一根绳子沿着X轴方向从-∞到+∞的延伸，其中分布函数就是线密度，于是我们沿着x轴这个路径积分就得到了绳子的总质量1。

而在二重积分中，概率密度函数从线密度升维成了面密度，即沿着X、Y轴方向都有概率的分布，于是我们只需要求出整个面的质量即联合分布函数。用数学表达即为二重积分。

（2）联合分布函数的性质

联合分布函数有以下几条性质，基本都和之前一维随机变量的性质是完全相同的。

1.非负性与有界性对任意实数x、y，恒有：

2.单调不减性，扩展为对X、Y分别的单调不减性质：

3.规范性（二维点落在无穷远的概率为0，落在平面上的概率为1）：

4.右连续性（台阶性质）：

左连续性没写，是因为在离散型的分界点处不成立。

（3）二维离散型随机变量

（4）二维连续型随机变量

二、边缘分布

变缘分布描述的是二维随机变量中单个变量自身的分布规律，相当于把另外一个变量的所有可能值合并起来，看如何对该随机变量的概率产生影响。在离散型随机变量中即为分布列表格；而在连续型随机变量中即为分布函数。

（1）边缘分布的定义

关于X的边缘分布函数就是令Y取值到他的所有情况，然后得到的关于X的分布概率。

下图是我们学习二重积分时候的理解：

所以在现在边缘分布中，仍然可以如上理解。对X求边缘分布函数即定X穿Y，先把X当做一个常数求出每一根筷子的重量，最后将筷子的重量坍塌汇聚到一点，即变为了线密度。从而化为一维积分求解。

关于Y的边缘分布定义也是类似的，只不过换为了定Y穿X而已。

（2）离散型的边缘分布列

（3）连续型的边缘密度函数

基于刚刚的维度坍塌的角度分析，我们可以分别求出X型、Y型的边缘密度函数。

它其实就是把二重积分的两步积分拆分出来的一部分，成为连续型的边缘密度函数。

三、条件分布

所谓条件分布，其实就是套用了条件概率的公式而已。只不过这里把同时发生的概率升级成了联合密度；把单独一个发生的概率变成了边缘密度函数。

而条件分布真正的作用就是缩小样本空间。

（1）离散型的条件分布列

离散型的条件分布列求解，本质上也得从分布表格中观察得到，直接带入上述公式即可。

（2）连续型的条件密度函数

连续型的条件密度说白了就是先用前面的边缘分布公式得到分母，然后再由题目直接给出的共同发生的概率函数套入分子即可。

四、随机变量的独立性

我们前面说二维随机变量可以看做一个平面的质量求解，而如果这两个随机变量是独立的，则在X方向和Y方向上的线密度是独立、无关的（即X方向上的线密度仅仅与X相关；Y方向上的线密度仅仅与Y相关，不包含对方的变量表达式）。他们共同构成了面密度。

对于离散型随机变量，X、Y独立的条件是：对于所有的i、j都有：

通常会有一个特殊结论：离散型是表格表示的概率，于是只要独立，则任意两行、或者两列都是成比例的，可以用来快速填写表格等题目。

而对于连续型随机变量，X、Y独立的条件是任意一个点上都满足联合密度=边缘密度的乘积。