Développements Limités et Asymptotiques1. Comparaisons et équivalentsSoit \(f : I \to \mathbb{R}\) et \(g : I \to \mathbb{R}\) ne s'annulant pas sur un voisinage \(V\) de \(x_0\) telles que :$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$$On dit alors que \(f\) et \(g\) sont équivalentes au voisinage de \(x_0\) et on note :$$f(x) \sim_{x_0} g(x)$$Propriété :$$f(x) \sim_{x_0} g(x) \iff f(x) = g(x) + o_{x_0}(g(x))$$Soit \(l \in \mathbb{R}^*\),$$f(x) \sim_{x_0} l \iff \lim_{x \to x_0} f(x) = l$$Si \(f\) est dérivable en \(x_0\) et si \(f'(x_0) \neq 0\) alors :$$f(x) - f(x_0) \sim_{x_0} f'(x_0)(x - x_0)$$2. Développements limités (DL)Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbb{R}\). Soit \(f : I \to \mathbb{R}\) une fonction. Soit \(n \in \mathbb{N}\) et soit \(x_0 \in I\).On dit que \(f\) admet un développement limité à l'ordre \(n\) en \(x_0\) s'il existe des réels \(a_0, a_1, \dots, a_n\) tels que pour tout \(h\) au voisinage de \(0\) :$$f(x_0 + h) = a_0 + a_1 h + a_2 h^2 + \dots + a_n h^n + o(h^n)$$On peut aussi écrire :$$f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)^2 + \dots + a_n(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n)$$Si \(f\) possède un développement limité à l'ordre \(n\) en \(x_0\), alors celui-ci est unique.\(f\) admet un DL à l'ordre 0 en \(x_0 \iff f\) est continue en \(x_0\). (0阶DL存在 \(\iff\) 连续)\(f\) admet un DL à l'ordre 1 en \(x_0 \iff f\) est dérivable en \(x_0\). (1阶DL存在 \(\iff\) 可导)Lorsqu'une fonction \(f\) admet un DL à l'ordre \(n\) en \(x_0\) et que les coefficients \(a_k\) ne sont pas tous nuls, on appelle partie principale de \(f\) en \(x_0\) le premier terme non nul. Notons-le \(a_p(x-x_0)^p\) avec \(a_p \neq 0\). On a alors :$$f(x) \sim_{x_0} a_p(x-x_0)^p$$Formule de Taylor-YoungSoit \(f\) une fonction de classe \(C^n\) (\(n \in \mathbb{N}\)) sur un intervalle \(I\) et soit \(x_0 \in I\). Alors \(f\) admet un DL à l'ordre \(n\) en \(x_0\) :$$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)k + o((x-x_0)^n)$$Primitivation d'un développement limitéSi \(f\) est de classe \(C^1\) sur un intervalle \(I\) et si \(f'\) admet un DL à l'ordre \(n\) en \(x_0\) :$$f'(x) = \sum_{k=0}^n a_k(x-x_0)^k + o((x-x_0)^n)$$alors \(f\) admet un DL à l'ordre \(n+1\) en \(x_0\) :$$f(x) = f(x_0) + \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{k+1}(x-x_0)^{k+1} + o((x-x_0)^{n+1})$$Les DL se comportent très bien par rapport à la primitivation (passage de \(f'\) à \(f\)) et cela fournit une méthode efficace pour obtenir des DL.On a vu que la dérivation ne fonctionnait pas bien ! Cependant, ne pas oublier que si une fonction est de classe \(C^{n+1}\) avec un DL à l'ordre \(n+1\), alors sa dérivée est de classe \(C^n\), on peut donc lui appliquer le théorème de Taylor-Young.常见的 0 处的 DL (Développements usuels en 0)$$\begin{aligned}
e^x &= \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} + o(x^n) = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots + \frac{x^n}{n!} + o(x^n) \[1em]
\sin(x) &= \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} + o(x^{2n+2}) = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+2}) \[1em]
\cos(x) &= \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} + o(x^{2n+1}) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots + (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n+1}) \[1em]
(1+x)^\alpha &= 1 + \sum_{k=1}^n \frac{\alpha(\alpha-1)\dots(\alpha-k+1)}{k!} x^k + o(x^n) = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2} x^2 + \dots + o(x^n) \[1em]
\frac{1}{1+x} &= \sum_{k=0}^n (-1)^k x^k + o(x^n) = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots + (-1)^n x^n + o(x^n) \[1em]
\ln(1+x) &= \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \frac{x^k}{k} + o(x^n) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + o(x^n)
\end{aligned}$$3. Développements asymptotiques (DA)Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On appelle développement asymptotique de la fonction \(f\) au voisinage de \(x_0\) toute expression de la forme :$$f(x) = \sum_{k=1}^n f_k(x) + o(f_n(x))$$où les fonctions \(f_k\) qui interviennent vérifient :Les expressions des \(f_k\) sont « simples ».Les \(f_k(x)\) ne s'annulent pas au voisinage de \(x_0\) (sauf peut-être en \(x_0\)).Elles vérifient \(f_{k+1}(x) = o(f_k(x))\) au voisinage de \(x_0\).On note parfois cette dernière relation sous la forme \(f_{k+1}(x) \ll f_k(x)\) et on dit que \(f_{k+1}\) est négligeable devant \(f_k\) ou que \(f_k\) est dominante devant \(f_{k+1}\) au voisinage de \(x_0\).Règle de L'Hôpital (Extensions aux limites)Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle \(I\). Soit \(x_0 \in I\) (éventuellement \(\pm \infty\)). On suppose que \(g'\) ne s'annule pas au voisinage de \(x_0\) sauf peut-être en \(x_0\).Cas 1 : Si \(\lim f(x) = 0\) et \(\lim g(x) = 0\), et que \(\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = l \in \mathbb{R}\), alors \(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = l\).Cas 2 : De même, si \(g(x)\) tend vers l'infini et que la limite du rapport des dérivées existe, alors le rapport des fonctions tend vers cette même limite.4. Compléments sur les DL et DAFonctions réciproquesIl est facile de trouver un DL à l'ordre \(n\) d'une fonction réciproque de \(f\) dont on connaît un DL à l'ordre \(n\) au point \(x_0\), lorsque l'on a les hypothèses suivantes sur \(f\) :\(f\) est de classe \(C^n\) au voisinage de \(x_0\).\(f'(x_0) \neq 0\).On sait alors que \(f^{-1}\) est de classe \(C^n\) au voisinage de \(y_0 = f(x_0)\) d'après la relation :$$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$$Le théorème de Taylor-Young nous permet alors d'affirmer l'existence d'un DL de \(f^{-1}\) au voisinage de \(f(x_0)\).