27李永乐线代讲义|小侯七宋浩网课

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线代三件套：李永乐 / 小侯七 / 宋浩

数一 / 数二 / 数三均考线代；含讲义 PDF + 网课 + 660 线代题。见上方链接。

线代核心模块（复习框架）

使用思路（3 条）

一、【李永乐线代】行列式与矩阵 · 精练

第 1 题

设 A 为 3 阶矩阵，|A|=2，则 |A*| = （ ）（A* 为伴随矩阵）

A. 2
B. 4
C. 8
D. 16

解析：|A*| = |A|^(n-1) = 2² =4→B

第 2 题

设 A 为 n 阶矩阵，r(A)=r，则 r(A*) = （ ）

A. n
B. r
C. n-r
D. 0 或 n

解析：r=n 时 r(A*)=n；r<n-1 时 r(A*)=0；r=n-1 时 r(A*)=1 → 综合选D（题目常考 r=n 时 =n）

标准结论：r(A)=n → r(A*)=n；r(A)=n-1 → r(A*)=1；r(A)<n-1 → r(A*)=0

第 3 题

矩阵 A = [1 2; 3 4]，则 A 的秩 r(A) = （ ）

A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

解析：二阶子式 1×4-2×3 = -2 ≠ 0 →C

参考答案：1.B 3.C

二、【李永乐线代】向量组与方程组 · 精练

第 4 题

n 元齐次线性方程组 Ax=0 有非零解的充要条件是（ ）

A. |A| ≠ 0
B. r(A) = n
C. r(A) < n
D. A 可逆

解析：非零解 ⟺ 秩 < 未知数个数 →C

第 5 题

设 α₁=(1,0,1), α₂=(0,1,1), α₃=(1,1,0)，则向量组 α₁, α₂, α₃ 的秩为（ ）

A. 0
B. 1
C. 2
D. 3

解析：三向量线性无关 → 秩 3 →D

第 6 题 · 小侯七口诀

口诀：「齐次看秩，非齐看增；解的结构 = 特解 + 齐次通解」

非齐次 Ax=b 有解 ⟺ r(A) = r(A|b)

参考答案：4.C 5.D

三、【李永乐线代】特征值与二次型 · 精练

第 7 题

设 2 阶矩阵 A 的特征值为 2, 5，则 |A| = （ ）

A. 7
B. 10
C. 3
D. -3

解析：|A| = 2×5 =10→B

第 8 题

矩阵 A 可相似于对角矩阵的充分条件是 A 有 n 个（ ）

A. 相同的特征值
B. 线性无关的特征向量
C. 正交的特征向量
D. 互不相同的特征值

解析：n 个线性无关特征向量 → 可相似对角化 →B（D 是充分非必要）

第 9 题

二次型 f = x₁² + 2x₂² + 2x₁x₂ 的标准形为（ ）

A. y₁² + y₂²
B. y₁² + 2y₂²
C. 2y₁² + y₂²
D. y₁² - y₂²

解析：配方法或写矩阵 [1,1;1,2]，特征值 3 和 1 → 标准形 3y₁² + y₂² 或等价 → 需计算：

A = [1 1; 1 2], |A-λI| = (1-λ)(2-λ)-1 = λ²-3λ+1

精练重点：会判正定（顺序主子式 / 特征值全正）。

参考答案：7.B 8.B

四、李永乐 vs 小侯七 vs 宋浩 · 怎么搭

线代别换太多老师；李永乐 + 660 为主，宋浩 / 小侯七作补充。

五、线代 4 周计划

六、自测（4 题）

1.|A|=2（3 阶），|2A| = ________

2.齐次 Ax=0 有非零解 ⟺ r(A) ________ n

3.|A| 等于特征值之 ________

4.小侯七口诀：非齐次有解看 ________

1. 16
2. 小于
3. 积
4. r(A) = r(A|b)（秩相等）