电磁场：从库伦定律到高斯公式、静电平衡

目录

一、库伦定律

二、静电场中的高斯定理：高斯公式的利用

（1）高斯定理的由来

（2）无限大均匀带点平面板的场强求解

（3）无限长均匀带电直导线的场强求解

（4）如何用高斯定律理解电容？

三、静电平衡

（1）导体静电平衡的原理

（2）导体静电平衡的性质

在高中时候我们就曾学习过库伦定理，它是每个人接触电磁学的一把钥匙，也是人类历史上第一次具体的定量计算出库伦力的大小的经典案例。但是随着物理场景的深入，会不断涉及到微积分的操作，而一些复杂的场景仅仅使用库仑定律+微积分会十分困难，于是高斯一定程度上修改了库伦定律，让电场强度与电荷量建立了联系，也是目前物理学常用的方法之一。

一、库伦定律

二、静电场中的高斯定理：高斯公式的利用

（1）高斯定理的由来

高斯定理是基于库伦定律和磁通量而延伸出来的概念。高斯觉得：既然磁场线穿过平面的时候会有磁通量的概念，那么电场线穿过平面是不是也有电通量的概念呢？

而电场线是由电荷向四面八方散发出去的，于是最容易计算的方式就是用一个球体去包裹这个点电荷：

这里仅仅是因为高斯选择了方便计算的球壳而已（因为球面的面积刚好能和库伦定律的r²约掉，十分容易化简计算），然后在库伦定律的系数K下得到了真空介电常数，所以后人都常常用球面来还原高斯面的思想。

如果让你来设计高斯定理，你可能采取立方体来包裹点电荷，于是推导真空介电系数的路径可能又会不同，但不管怎么样，这都是一个常数不会改变。

如果你是学术派，甚至可以直接从高等数学中的高斯公式来进行推导（散度定理与通量 的关系），但我们这里就选择简单方法即可。

（2）无限大均匀带点平面板的场强求解

而且由于对称性，场强只剩下了左右水平方向的（垂直于板子平面的场强存在，而其他任意方向都被抵消了），所以任取一个板子外侧的点，它的场强都是相等的一个恒定电场！这也是我们电容的原理。

（3）无限长均匀带电直导线的场强求解

由此我们就从高斯定理轻而易举的求出了场强公式，不再需要用到古老的微积分了。

（4）如何用高斯定律理解电容？

这里电容能当场无限大的原因是，我们计算的是电容中间部分的场强，可以近似看做无穷大，边缘部分由于边缘效应是无法等价看做的。

且只要极板的长宽远远大于距离d也可以看做无穷大。即a>>d且b>>d即可。

三、静电平衡

（1）导体静电平衡的原理

注意这里场强为0的地方指的是外边缘的内侧，即外部几个原子的厚度除外，因为他们要汇聚正负电荷。所以以后我们说的整个导体是不包含最外侧的几个原子厚度区域的。

（2）导体静电平衡的性质

以下所有性质都是在“除开最外层几个原子厚度”的区域才成立，以内的区域我们称为整个导体。目前阶段我们直接忽略这个微小厚度区域，如果你要研究微观世界则需要更深入的学习。

（1）导体内部的电场强度处处为零（E=0），因为金属导体自身的电荷移动后与外电场相互抵消了。

（2）整个导体为等电势体，因为内部的场强为0，即内部电荷无论怎么移动都不会受力做功，所以电势相等。

（3）导体表面的电场方向必定是垂直于表面的，不用管外电场是什么方向的，只要说导体表面微小局部场强就是垂直于表面的。因为整个导体表面可以看做一个等势面，而电场方向是垂直于等势面的。

（4）若导体本身就带有净电荷（并非由于外电场作用下的中性移动后变成的电荷），则这些电荷只能分布于最外层几个原子厚度区域。因为由高斯定理可以知道：当场强为0的时候，内部是没有电荷产生通量的。