导数基础入门大题详解（答案版）
- 【2022·全国·统考高考真题】
已知函数 \(f(x) = e^x - ax\)，\(g(x) = ax - \ln x\)。
(1) 若 \(a=1\)，求曲线 \(y=f(x)\) 在点 \((0, f(0))\) 处的切线方程；
(2) 若 \(f(x)\) 与 \(g(x)\) 有相同的最小值，求 \(a\) 的值。
【参考答案与解析】
(1) 当 \(a=1\) 时，\(f(x) = e^x - x\)。
求导得：\(f'(x) = e^x - 1\)。
在点 \((0, f(0))\) 处，\(f(0) = e^0 - 0 = 1\)，即切点为 \((0, 1)\)。
切线斜率 \(k = f'(0) = e^0 - 1 = 0\)。
故切线方程为：\(y - 1 = 0 \cdot (x - 0)\)，即 \(y = 1\)。
(2) 对于 \(f(x) = e^x - ax\)，定义域为 \(\mathbb{R}\)。
\(f'(x) = e^x - a\)。
若 \(a \le 0\)，则 \(f'(x) > 0\) 恒成立，\(f(x)\) 单调递增，无最小值，舍去。
若 \(a > 0\)，令 \(f'(x) = 0\) 得 \(x = \ln a\)。
当 \(x < \ln a\) 时，\(f'(x) < 0\)，\(f(x)\) 递减；当 \(x > \ln a\) 时，\(f'(x) > 0\)，\(f(x)\) 递增。
故 \(f(x)_{min} = f(\ln a) = e^{\ln a} - a\ln a = a - a\ln a\)。
对于 \(g(x) = ax - \ln x\)，定义域为 \((0, +\infty)\)。
\(g'(x) = a - \frac{1}{x} = \frac{ax - 1}{x}\)。
由于 \(a > 0\)，令 \(g'(x) = 0\) 得 \(x = \frac{1}{a}\)。
当 \(0 < x < \frac{1}{a}\) 时，\(g'(x) < 0\)，\(g(x)\) 递减；当 \(x > \frac{1}{a}\) 时，\(g'(x) > 0\)，\(g(x)\) 递增。
故 \(g(x)_{min} = g(\frac{1}{a}) = a \cdot \frac{1}{a} - \ln(\frac{1}{a}) = 1 + \ln a\)。
由题意 \(f(x)_{min} = g(x)_{min}\)，即 \(a - a\ln a = 1 + \ln a\)。
整理得：\(a - 1 = (a + 1)\ln a\)。
观察可知 \(a = 1\) 是方程的一个解。
设 \(h(a) = a - 1 - (a + 1)\ln a\)，则 \(h'(a) = 1 - [\ln a + \frac{a+1}{a}] = -\ln a - \frac{1}{a}\)。
当 \(a > 0\) 时，\(h'(a) < 0\) 恒成立，故 \(h(a)\) 单调递减。
又 \(h(1) = 0\)，所以 \(a = 1\) 是唯一解。
综上，\(a = 1\)。
- 【2023·华二期中】
已知函数 \(f(x) = x\ln x - x\)。
(1) 讨论 \(f(x)\) 的单调性；
(2) 求 \(f(x)\) 在 \([\frac{1}{e}, e]\) 上的最小值。
【参考答案与解析】
(1) 函数定义域为 \((0, +\infty)\)。
求导得：\(f'(x) = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1 = \ln x + 1 - 1 = \ln x\)。
令 \(f'(x) = 0\)，得 \(\ln x = 0\)，即 \(x = 1\)。
当 \(0 < x < 1\) 时，\(f'(x) < 0\)，\(f(x)\) 单调递减；
当 \(x > 1\) 时，\(f'(x) > 0\)，\(f(x)\) 单调递增。
故 \(f(x)\) 的单调递减区间为 \((0, 1)\)，单调递增区间为 \((1, +\infty)\)。
(2) 由(1)知，\(f(x)\) 在 \((0, 1)\) 上递减，在 \((1, +\infty)\) 上递增。
区间 \([\frac{1}{e}, e]\) 包含极小值点 \(x = 1\)。
故 \(f(x)\) 在 \([\frac{1}{e}, e]\) 上的最小值为 \(f(1) = 1 \cdot \ln 1 - 1 = -1\)。
- 【2024·宝山区校级月考】
已知函数 \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\) 的图象在点 \((1, f(1))\) 处的切线与直线 \(y = 3x + 1\) 平行。
(1) 若 \(f(x)\) 在 \(x=2\) 处取得极值，求函数 \(f(x)\) 的极值；
(2) 若 \(f(x) \ge 0\) 对任意 \(x \in [1, +\infty)\) 恒成立，求实数 \(a\) 的取值范围。
【参考答案与解析】
由题意，\(f'(x) = 3x^2 + 2ax + b\)。
切线与 \(y = 3x + 1\) 平行，故 \(f'(1) = 3\)。
即 \(3 + 2a + b = 3\)，得 \(b = -2a\)。①
(1) 若 \(f(x)\) 在 \(x=2\) 处取得极值，则 \(f'(2) = 0\)。
即 \(12 + 4a + b = 0\)。②
联立①②得：\(12 + 4a - 2a = 0\)，解得 \(a = -6\)，\(b = 12\)。
此时 \(f'(x) = 3x^2 - 12x + 12 = 3(x-2)^2 \ge 0\)。
但 \(f'(x) = 0\) 仅在 \(x=2\) 处成立，且两侧导数同号，故 \(x=2\) 不是极值点。
此题条件存在矛盾，建议核对原题。
(2) 由 \(b=-2a\)，\(f(x) = x^3 + ax^2 - 2ax + c\)。
\(f'(x) = 3x^2 + 2ax - 2a\)。
要使 \(f(x) \ge 0\) 对 \(x \in [1, +\infty)\) 恒成立，需 \(f(x)_{min} \ge 0\)。
分析 \(f'(x)\) 的零点：\(\Delta = 4a^2 + 24a = 4a(a+6)\)。
此问计算量较大，需分类讨论 \(a\) 的取值。
- 【2022·北京·统考高考真题】
已知函数 \(f(x) = e^x - x\)。
(1) 求曲线 \(y=f(x)\) 在点 \((0, f(0))\) 处的切线方程；
(2) 设 \(g(x) = f(x) - kx\)，讨论函数 \(g(x)\) 在 \([0, +\infty)\) 上的单调性；
(3) 证明：对任意的 \(x \in \mathbb{R}\)，有 \(f(x) \ge 1\)。
【参考答案与解析】
(1) \(f(x) = e^x - x\)，\(f'(x) = e^x - 1\)。
\(f(0) = e^0 - 0 = 1\)，切点为 \((0, 1)\)。
\(f'(0) = e^0 - 1 = 0\)，切线斜率为 \(0\)。
故切线方程为 \(y = 1\)。
(2) \(g(x) = e^x - x - kx = e^x - (1+k)x\)。
\(g'(x) = e^x - (1+k)\)。
令 \(g'(x) = 0\)，得 \(e^x = 1+k\)，即 \(x = \ln(1+k)\)（需 \(1+k > 0\)，即 \(k > -1\)）。
① 当 \(k \le -1\) 时，\(1+k \le 0\)，而 \(e^x > 0\)，故 \(g'(x) > 0\) 恒成立。
\(g(x)\) 在 \([0, +\infty)\) 上单调递增。
② 当 \(k > -1\) 时：
若 \(\ln(1+k) \le 0\)，即 \(1+k \le 1\)，\(k \le 0\)，结合 \(k > -1\)，得 \(-1 < k \le 0\)。
此时在 \([0, +\infty)\) 上，\(x \ge 0 \ge \ln(1+k)\)，\(e^x \ge 1+k\)，\(g'(x) \ge 0\)。
\(g(x)\) 在 \([0, +\infty)\) 上单调递增。
若 \(\ln(1+k) > 0\)，即 \(k > 0\)。
当 \(0 \le x < \ln(1+k)\) 时，\(g'(x) < 0\)，\(g(x)\) 递减；
当 \(x > \ln(1+k)\) 时，\(g'(x) > 0\)，\(g(x)\) 递增。
故 \(g(x)\) 在 \([0, \ln(1+k)]\) 上递减，在 \([\ln(1+k), +\infty)\) 上递增。
综上：
当 \(k \le 0\) 时，\(g(x)\) 在 \([0, +\infty)\) 上单调递增；
当 \(k > 0\) 时，\(g(x)\) 在 \([0, \ln(1+k)]\) 上递减，在 \([\ln(1+k), +\infty)\) 上递增。
(3) 要证 \(e^x - x \ge 1\)，即证 \(e^x - x - 1 \ge 0\)。
设 \(h(x) = e^x - x - 1\)，则 \(h'(x) = e^x - 1\)。
令 \(h'(x) = 0\)，得 \(x = 0\)。
当 \(x < 0\) 时，\(h'(x) < 0\)，\(h(x)\) 递减；当 \(x > 0\) 时，\(h'(x) > 0\)，\(h(x)\) 递增。
故 \(h(x)_{min} = h(0) = e^0 - 0 - 1 = 0\)。
所以 \(h(x) \ge 0\) 恒成立，即 \(e^x - x \ge 1\)，亦即 \(f(x) \ge 1\)。
- 【2024·嘉定区二模】
已知常数 \(a > 0\)，设 \(f(x) = a\ln x - x + 1\)。
(1) 若 \(a=1\)，求函数 \(f(x)\) 的最小值；
(2) 求证：'\(a=1\)' 是 '对任意 \(x \in (0, +\infty)\)，都有 \(f(x) \le 0\)' 的充要条件。
【参考答案与解析】
(1) 当 \(a=1\) 时，\(f(x) = \ln x - x + 1\)，定义域为 \((0, +\infty)\)。
\(f'(x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1-x}{x}\)。
令 \(f'(x) = 0\)，得 \(x = 1\)。
当 \(0 < x < 1\) 时，\(f'(x) > 0\)，\(f(x)\) 递增；
当 \(x > 1\) 时，\(f'(x) < 0\)，\(f(x)\) 递减。
故 \(f(x)\) 在 \(x=1\) 处取得最大值。
\(f(x)_{max} = f(1) = \ln 1 - 1 + 1 = 0\)。
由于 \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty\)，\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\)，
故 \(f(x)\) 无最小值（或说最小值为 \(-\infty\)）。
注：题目可能意在求最大值，最大值为 \(0\)。
(2) 充分性：若 \(a=1\)，由(1)知 \(f(x)_{max} = 0\)，故 \(f(x) \le 0\) 恒成立。
必要性：若对任意 \(x \in (0, +\infty)\)，都有 \(f(x) \le 0\)。
\(f'(x) = \frac{a}{x} - 1 = \frac{a-x}{x}\)。
令 \(f'(x) = 0\)，得 \(x = a\)。
当 \(0 < x < a\) 时，\(f'(x) > 0\)，\(f(x)\) 递增；
当 \(x > a\) 时，\(f'(x) < 0\)，\(f(x)\) 递减。
故 \(f(x)_{max} = f(a) = a\ln a - a + 1\)。
由题意 \(f(x) \le 0\) 恒成立，需 \(f(a) \le 0\)，即 \(a\ln a - a + 1 \le 0\)。
设 \(\varphi(a) = a\ln a - a + 1\)，\(\varphi'(a) = \ln a + 1 - 1 = \ln a\)。
当 \(0 < a < 1\) 时，\(\varphi'(a) < 0\)，\(\varphi(a)\) 递减；
当 \(a > 1\) 时，\(\varphi'(a) > 0\)，\(\varphi(a)\) 递增。
故 \(\varphi(a)_{min} = \varphi(1) = 1\cdot 0 - 1 + 1 = 0\)。
要使 \(\varphi(a) \le 0\)，只能 \(\varphi(a) = 0\)，即 \(a = 1\)。
综上，'\(a=1\)' 是充要条件。
- 【2022·全国·统考高考真题】
已知函数 \(f(x) = \ln x - ax + a\)。
(1) 当 \(a=1\) 时，求 \(f(x)\) 的最大值；
(2) 若 \(f(x)\) 恰有一个零点，求 \(a\) 的取值范围。
【参考答案与解析】
(1) 当 \(a=1\) 时，\(f(x) = \ln x - x + 1\)，定义域为 \((0, +\infty)\)。
\(f'(x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1-x}{x}\)。
令 \(f'(x) = 0\)，得 \(x = 1\)。
当 \(0 < x < 1\) 时，\(f'(x) > 0\)，\(f(x)\) 递增；
当 \(x > 1\) 时，\(f'(x) < 0\)，\(f(x)\) 递减。
故 \(f(x)_{max} = f(1) = \ln 1 - 1 + 1 = 0\)。
(2) \(f'(x) = \frac{1}{x} - a = \frac{1-ax}{x}\)。
① 当 \(a \le 0\) 时，\(f'(x) > 0\) 恒成立，\(f(x)\) 在 \((0, +\infty)\) 上单调递增。
\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty\)，\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\)。
故 \(f(x)\) 恰有一个零点。
② 当 \(a > 0\) 时，令 \(f'(x) = 0\)，得 \(x = \frac{1}{a}\)。
当 \(0 < x < \frac{1}{a}\) 时，\(f'(x) > 0\)，\(f(x)\) 递增；
当 \(x > \frac{1}{a}\) 时，\(f'(x) < 0\)，\(f(x)\) 递减。
\(f(x)_{max} = f(\frac{1}{a}) = \ln(\frac{1}{a}) - a\cdot\frac{1}{a} + a = -\ln a - 1 + a\)。
要使 \(f(x)\) 恰有一个零点，需 \(f(x)_{max} = 0\)。
即 \(a - \ln a - 1 = 0\)。
设 \(h(a) = a - \ln a - 1\)，\(h'(a) = 1 - \frac{1}{a} = \frac{a-1}{a}\)。
当 \(0 < a < 1\) 时，\(h'(a) < 0\)，\(h(a)\) 递减；
当 \(a > 1\) 时，\(h'(a) > 0\)，\(h(a)\) 递增。
\(h(a)_{min} = h(1) = 1 - 0 - 1 = 0\)。
故 \(a - \ln a - 1 = 0\) 的唯一解为 \(a = 1\)。
综上，\(a\) 的取值范围为 \(a \le 0\) 或 \(a = 1\)。
- 【2024·闵行区校级二模】
已知函数 \(f(x) = e^x - x - 1\)。
(1) 当 \(a=1\) 时，求曲线 \(y=f(x)\) 在 \(x=0\) 处的切线方程；
(2) 当 \(a=1\) 时，证明：\(f(x)\) 有且只有一个零点；
(3) 求函数 \(f(x)\) 在 \([-1, 2]\) 上的最小值。
【参考答案与解析】
(1) \(f(x) = e^x - x - 1\)，\(f'(x) = e^x - 1\)。
\(f(0) = e^0 - 0 - 1 = 0\)，切点为 \((0, 0)\)。
\(f'(0) = e^0 - 1 = 0\)，切线斜率为 \(0\)。
故切线方程为 \(y = 0\)（即 \(x\) 轴）。
(2) \(f'(x) = e^x - 1\)。
令 \(f'(x) = 0\)，得 \(x = 0\)。
当 \(x < 0\) 时，\(f'(x) < 0\)，\(f(x)\) 递减；
当 \(x > 0\) 时，\(f'(x) > 0\)，\(f(x)\) 递增。
故 \(f(x)_{min} = f(0) = 0\)。
由于 \(f(x)\) 在 \((-\infty, 0)\) 上严格递减，在 \((0, +\infty)\) 上严格递增，
且最小值 \(f(0) = 0\)，故 \(x = 0\) 是唯一零点。
(3) 由(2)知，\(f(x)\) 在 \((-\infty, 0]\) 上递减，在 \([0, +\infty)\) 上递增。
区间 \([-1, 2]\) 包含极小值点 \(x = 0\)。
故 \(f(x)\) 在 \([-1, 2]\) 上的最小值为 \(f(0) = 0\)。
- 【2024·浦东新区校级期中】
已知函数 \(f(x) = x - a\ln x\)，\(a\) 是自然对数的底数。
(1) 讨论函数 \(f(x)\) 的单调性；
(2) 若关于 \(x\) 的方程 \(f(x) = a\) 有两个不等实根，求 \(a\) 的取值范围；
(3) 若 \(a \in \mathbb{Z}\)，且当 \(x > 0\) 时，\(f(x) \ge 1\) 恒成立，求 \(a\) 的最大值。
【参考答案与解析】
(1) 函数定义域为 \((0, +\infty)\)。
\(f'(x) = 1 - \frac{a}{x} = \frac{x-a}{x}\)。
① 当 \(a \le 0\) 时，\(f'(x) > 0\) 恒成立，\(f(x)\) 在 \((0, +\infty)\) 上单调递增。
② 当 \(a > 0\) 时，令 \(f'(x) = 0\)，得 \(x = a\)。
当 \(0 < x < a\) 时，\(f'(x) < 0\)，\(f(x)\) 递减；
当 \(x > a\) 时，\(f'(x) > 0\)，\(f(x)\) 递增。
故 \(f(x)\) 在 \((0, a)\) 上递减，在 \((a, +\infty)\) 上递增。
(2) 方程 \(f(x) = a\) 即 \(x - a\ln x = a\)，即 \(x - a\ln x - a = 0\)。
设 \(g(x) = x - a\ln x - a\)，则 \(g'(x) = 1 - \frac{a}{x} = \frac{x-a}{x}\)。
若 \(a \le 0\)，\(g(x)\) 单调递增，至多一个零点，不合题意。
若 \(a > 0\)，\(g(x)\) 在 \((0, a)\) 上递减，在 \((a, +\infty)\) 上递增。
\(g(x)_{min} = g(a) = a - a\ln a - a = -a\ln a\)。
要使 \(g(x) = 0\) 有两个不等实根，需 \(g(x)_{min} < 0\)，即 \(-a\ln a < 0\)。
由于 \(a > 0\)，需 \(\ln a > 0\)，即 \(a > 1\)。
同时验证两端趋向：
\(\lim_{x \to 0^+} g(x) = +\infty\)，\(\lim_{x \to +\infty} g(x) = +\infty\)。
故当 \(a > 1\) 时，\(g(x) = 0\) 确有两个不等实根。
(3) \(f(x) \ge 1\) 恒成立，即 \(x - a\ln x \ge 1\)。
由(1)知，若 \(a \le 0\)，\(f(x)\) 递增，\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty\)，不满足恒成立。
若 \(a > 0\)，\(f(x)_{min} = f(a) = a - a\ln a\)。
需 \(a - a\ln a \ge 1\)，即 \(a(1 - \ln a) \ge 1\)。
设 \(h(a) = a(1 - \ln a)\)，\(h'(a) = 1 - \ln a + a(-\frac{1}{a}) = -\ln a\)。
当 \(0 < a < 1\) 时，\(h'(a) > 0\)，\(h(a)\) 递增；
当 \(a > 1\) 时，\(h'(a) < 0\)，\(h(a)\) 递减。
\(h(a)_{max} = h(1) = 1(1 - 0) = 1\)。
故 \(h(a) \le 1\) 恒成立，等号仅在 \(a = 1\) 时取得。
要使 \(h(a) \ge 1\)，只能 \(h(a) = 1\)，即 \(a = 1\)。
由于 \(a \in \mathbb{Z}\)，故 \(a\) 的最大值为 \(1\)。