04-手眼标定理论：眼在手上、眼在手外适用场景

手眼标定理论：眼在手上、眼在手外适用场景

作者：黒漂技术佬

上一篇说外参矩阵是手眼标定算出来的。这篇就来讲手眼标定到底在标什么、怎么标、两种安装方式有什么区别。理论篇，公式较多，但我会用人话翻译每一个符号。

一、手眼标定的目的：求什么

回顾上一篇，像素坐标转机械臂世界坐标需要外参矩阵 H——也就是相机坐标系和机械臂坐标系之间的变换关系。这个变换关系包含旋转和平移，描述了"相机在哪里、朝哪个方向"。

问题来了：这个变换关系怎么获得？

• 手动量？用尺子量相机到机械臂基座的距离？误差太大，旋转角度根本量不准。
• 查手册？相机是你自己装上去的，安装位置每次都不同，没有现成数据。

答案是手眼标定：通过让机械臂运动到多个不同位姿、拍摄标定板，用算法求解相机和机械臂之间的精确变换关系。这就是手眼标定的目的——求相机坐标系与机械臂坐标系之间的刚体变换矩阵。

二、两种安装方式

手眼标定的具体方法取决于相机的安装位置。有两种基本方式，数学模型完全不同。

方式一：眼在手上（Eye-in-Hand）

相机安装在机械臂末端（随机械臂一起运动），相机视角随机械臂姿态变化。

[相机] | [末端法兰] | [机械臂] | [基座]───────[标定板（固定在外部）]

工作方式：机械臂带着相机运动到不同位姿，拍摄固定的标定板。每个位姿下，相机看到标定板的相对位置不同，但这些观测都与机械臂末端位姿存在固定关系。

实际场景：智慧农业采摘机器人，相机装在机械臂末端，靠近果实时拍摄细节，精度随距离拉近而提高。

方式二：眼在手外（Eye-to-Hand）

相机固定在外部支架上，不随机械臂运动，视野覆盖整个工作区域。

[相机]────────固定支架 | | 视野覆盖 ▼ [机械臂]────[标定板（装在末端上）]

工作方式：标定板固定在机械臂末端（代替夹爪位置），机械臂运动到不同位姿，外部相机拍摄标定板在不同位置的状态。

实际场景：无人售货柜补货，相机固定在柜体顶部俯视整个货架，机械臂在下方运动抓取。

三、两种方式的数学模型

这是本文最硬核的部分。别慌，我逐行解释。

眼在手上（Eye-in-Hand）模型

已知条件：

• 机械臂末端在基座坐标系下的位姿（机械臂控制器直接给出），记为变换矩阵T_base→end
• 相机拍摄标定板得到的标定板在相机坐标系下的位姿（标定算法算出），记为T_cam→target

要求解：

• 末端到相机的变换矩阵T_end→cam（这是固定的，因为相机装在末端上）

推导：

标定板固定在外部世界，所以标定板在世界坐标系下的位置不变。对于任意两个位姿 i 和 j，有：

T_base→end(i) × T_end→cam = T_world→target × T_cam→target(i)^(-1) T_base→end(j) × T_end→cam = T_world→target × T_cam→target(j)^(-1)

消去 T_world→target（因为标定板位置不变），得到：

T_base→end(j)^(-1) × T_base→end(i) × T_end→cam = T_end→cam × T_cam→target(j)^(-1) × T_cam→target(i)

令：

• A = T_base→end(j)^(-1) × T_base→end(i)（机械臂末端两次位姿的相对变换）
• B = T_cam→target(j)^(