【题目来源】
洛谷：P2303 [SDOI2012] Longge 的问题 - 洛谷
【题目描述】
现在问题来了：给定一个整数 \(n\)，你需要求出 \(\sum\limits_{i=1}^n \gcd(i, n)\)，其中 \(\gcd(i, n)\) 表示 \(i\) 和 \(n\) 的最大公因数。
【输入】
输入只有一行一个整数，表示 \(n\)。
【输出】
输出一行一个整数表示答案。
【输入样例】
6
【输出样例】
15
【解题思路】
【算法标签】
《洛谷 P2303 Longge的问题》 #数学# #欧拉函数# #各省省选# #2012# #山东# #O2优化#
【代码详解】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int n, ans; // n: 输入的正整数, ans: 计算结果
vector<int> ve; // 存储n的所有因子// 计算欧拉函数phi(x)：小于等于x且与x互质的正整数的个数
int phi(int x)
{int res = x; // 初始化为x// 分解质因数for (int i = 2; i * i <= x; i ++ ){if (x % i == 0) // 如果i是x的质因数{res = res / i * (i - 1); // 根据欧拉函数公式：φ(n) = n * ∏(1 - 1/p)while (x % i == 0) // 去除所有i因子{x /= i;}}}if (x > 1) // 如果还有剩余的质因数{res = res / x * (x - 1);}return res;
}signed main()
{cin >> n; // 输入正整数n// 找出n的所有因子for (int i = 1; i * i <= n; i++){if (n % i == 0) // 如果i是n的因子{ve.push_back(i); // 添加因子iif (i * i != n) // 避免重复添加平方根{ve.push_back(n / i); // 添加配对的因子n/i}}}// 计算：∑_{d|n} φ(n/d) * dfor (int i = 0; i < ve.size(); i++){ans += phi(n / ve[i]) * ve[i];}cout << ans << endl;return 0;
}
【运行结果】
6
15