From Now On

Day Ver.

鸟鸣从窗外传来。晨光下，黑白色的房间里，桌上的作业刚写了一半。桃离开座位，轻轻推开门。

纯白的天窗下，客厅是灰白的色调。清晨的冷气触到桃的身体，反而让她更清醒了一些。

早晨的静谧被对面房门打开的声音打破。

“啊，是桃啊——”绿哼哼唧唧地说，“还要玩艾斯爱慕吗……”

……

“绿。”桃轻叹一口气，“就算一直刷牙，牙齿也不会变得雪白；但只要洗一次澡，身上就会香香的。”

“是吗，为什么要——”

尖锐的汽车喇叭声划破了二人的谈话。

Night Ver.

深夜，黯淡的天空没有一丝光线。高楼四处林立，路上的人们都行色匆匆。樱羽艾玛则面对又一个失眠的夜晚，选择到街上走走。

夜很冷，不过艾玛似乎不是很在意，她只是在她混乱的脑中一点点拼凑着回忆——

\[\sum_{i=0}^{\min(m,i)}\dbinom mi\dbinom n{p-i}\dbinom{k+m-i}q=\sum_{i=0}^{\min(m,p,q)}(-1)^i\dbinom mi\dbinom{n+m-i}{p-i}\dbinom{k+m-i}{q-i} \]

碎片只是荒诞地组成令人迷惑的形式，但艾玛并不因此而沮丧。

“首先，求和的界是自然的，这意味着我们可以去掉求和的上下界……”樱羽艾玛努力翻找着似乎尘封已久的记忆。

路灯微弱的光照在地面上。

“接下来，审视等号的左边，问题的形式让我们想到 Saalschütz 恒等式，因为它们之间只差一个上指标反转……如果 \(m+n=q\) 的话。不过不妨先在这个特殊情况验证一下。”艾玛的思绪逐渐清晰起来。

（注：如果你不知道 Saalschütz 恒等式是什么——

\[\sum_k\dbinom{m-r+s}k\dbinom{n+r-s}{n-k}\dbinom{r+k}{m+n}=\dbinom rm\dbinom sn \]

）

\[\begin{aligned}\sum_i\dbinom mi\dbinom n{p-i}\dbinom{k+m-i}q&=\sum_i\dbinom mi\dbinom n{p-i}(-1)^q\dbinom{q-k-m+i+1}q\\&=(-1)^q\sum_i\dbinom mi\dbinom n{p-i}\dbinom{q-k-m+i+1}{q}\\&=(-1)^q\dbinom{q-k-m+1}{q-p}\dbinom{p+1-k}p\\&=(-1)^q(-1)^{q-p}\dbinom{k+m-p}{q-p}(-1)^p\dbinom{k-1}p\\&=\dbinom{k+m-p}{q-p}\dbinom{k-1}p\end{aligned} \]

风吹过树叶，发出沙沙的声音。

“那么让我们看看右边——”

\[\begin{aligned}\sum_{i=0}^{\min(m,p,q)}(-1)^i\dbinom mi\dbinom{n+m-i}{p-i}\dbinom{k+m-i}{q-i}&=\sum_i(-1)^i\dbinom mi\dbinom{q-i}{p-i}\dbinom{k+m-i}{q-i}\\&=\sum_i(-1)^i\dbinom mi\dbinom{q-i}{p-i}\dbinom{k+m-i}{q-i}\\&=\sum_i(-1)^i\dbinom mi\dbinom{k+m-i}{p-i}\dbinom{k+m-p}{q-p}\\&=\dbinom{k+m-p}{q-p}\sum_i(-1)^i\dbinom mi\dbinom{k+m-i}{p-i}\\&=\dbinom{k+m-p}{q-p}\sum_i(-1)^i\dbinom mi(-1)^{p-i}\dbinom{p-k-m+1}{p-i}\\&=\dbinom{k+m-p}{q-p}(-1)^p\sum_i\dbinom mi\dbinom{p-k-m+1}{p-i}\\&=\dbinom{k+m-p}{q-p}(-1)^p\dbinom{p-k+1}p\\&=\dbinom{k+m-p}{q-p}\dbinom{k-1}p\end{aligned} \]

“嗯。我们的工作证明 Saalschütz 恒等式在这个问题上是有一定成效的，那么接下来应该着手把原问题转写为超几何级数——”

“艾玛。”

月光打在海滩上，艾玛意识到，二阶堂希罗分明就站在自己面前。月亮映在艾玛的瞳孔上，希罗只是站着，像是指引迷途灵魂的天使。

Sever the Skyline

千禧年高耸建筑的轮廓在四周排列。灰白的城市里，桃和绿开着一辆破旧的三轮车缓缓前行。绿慵懒地趴在后面，迷迷糊糊地回应着桃有一搭没一搭的谈话。

街上少有行人，耳畔只有三轮车前进的声音——绿不知何时已经睡着了。“那就——向沙漠！”桃暗自下定决心。

清晨的风穿行于都市之间，桃小小的三轮车划过黑白线条的城市。

call it a day

艾玛和希罗二人沿海岸走着。风从陆地涌向海洋，掀起阵阵波涛。

“艾玛。你对这方面的关心可能太多了。”希罗平静地说。

“这里如果使用生成函数，将会非常简单——”

\[\begin{aligned}\mathrm{LHS}&=\sum_i\dbinom mi\dbinom n{p-i}\dbinom{k+m-i}q\\&=\sum_k\dbinom mi[x^{p-i}](1+x)^n[y^q](1+y)^{k+m-i}\\&=[x^py^q](1+x)^n(1+y)^{k+m}\sum_k\dbinom mix^i(1+y)^{-i}\\&=[x^py^q](1+x)^n(1+y)^{k+m}\left(1+\dfrac x{1+y}\right)^m\\&=[x^py^q](1+x)^n(1+y)^k(1+x+y)^m\end{aligned} \]

“欸……是这样的吗……”艾玛的声音从久未发声的喉咙里轻轻传出。

“那么让我们看看右边。”

\[\begin{aligned}\mathrm{RHS}&=\sum_i(-1)^i\dbinom mi\dbinom{n+m-i}{p-i}\dbinom{k+m-i}{q-i}\\&=\sum_i(-1)^i\dbinom mi[x^{n+m-p}](1+x)^{n+m-i}[y^{k+m-q}](1+y)^{k+m-i}\\&=[x^{n+m-p}y^{k+m-q}](1+x)^{n+m}(1+y)^{k+m}\left(1-\dfrac1{(1+x)(1+y)}\right)^m\\&=[x^{n+m-p}y^{k+m-q}](1+x)^n(1+y)^k(xy+x+y)^m\\&=[u^pv^q](1+u)^n(1+v)^k(1+u+v)^m&(u=x^{-1},v=y^{-1})\end{aligned} \]

“这就证明了原命题。”

“是吗……在班里我一直都不敢跟别人说话，我的舍友都因为我玩组合数学看不起我，我真的很喜欢你……”艾玛含着一丝笑意。

“是那个啊。”希罗看不透艾玛的心思，“你，愿意做我的樱羽艾玛吗？”

“欸——这你都知道——”

“太阳快要出来了，该回去了。”希罗以平静的语调说着。

“是啊。该回去了。”

艾玛和希罗在城市的道路上一同走着，喷薄而出的朝阳染红了矗立的高楼。

Dark Moonrise

转眼间已经到了阿拜多斯，茫茫的沙漠中，桃一个人走着。

启明星亮起来了，桃的步伐也逐渐轻快起来。直到——直到夏夜的寒意传来，桃才意识到自己已经迷失在沙漠里了。

四周是茫茫的沙漠。

桃终于停下了脚步，她的思绪也在此时被拉回。探索的乐趣瞬间被无助取代，毕竟四周只是茫茫的沙漠，并没有什么可寄托的——

“桃——”绿的声音远远传来，“怎么把我丢下自己走了！等一下我呀！”随后是开着三轮车的绿的身影。

桃看着绿一点点驶近，直到她完全来到自己身旁。

“月亮出来了，该回去了。”不顾绿吵闹的抱怨，桃自顾自地轻轻说道。

“……是哦。”绿也不再说话。

月光下，闪着微光的沙漠。茫茫的、无尽的沙漠，只有桃和绿的三轮车清晰的车痕。

——

“所以，要玩艾斯爱慕吗……”桃小声说。

“是吗，为什么要——”

尖锐的汽车喇叭声划破了二人的谈话。

后记

其实解释我到底在写什么从来不应该是我的本意……标题 From Now On 来自三角符文，Day Ver. 和 Night Ver. 取自阿良良木健的 KISS ME KISS ME，Sever the Skyline 和 Dark Moonrise 取自 Celeste（当然，这些来源都和文章想表达的内容没有任何联系，就像 OI 题目的标题和题目本身一样）。call it a day 只是一个英语习语，不过我是在 Blue Prince 第一次见到它的（然而第二次是完形填空）。

很难不发现，文中 Day Ver. / Sever the Skyline / Dark Moonrise 是一个故事线，而 Night Ver. / call it a day 是另一个故事线，它们之间没有任何联系。

关于夜间故事线，其中的推导一旦使用组合数的对称性就会使得证明包含隐含的上指标非负的条件，所以证明不是完全严谨的。不过这并不重要，因为其他部分总可以由多项式推理法完善。另外，这也给出了 Saalschütz 恒等式的一种证明，详情可见我的对位学术闲话（别急）。

DeepSeek 帮我润色文本。