专题：动点问题\(\qquad \qquad \qquad \qquad\) 题型：数量关系+分类讨论 \(\qquad \qquad \qquad \qquad\)难度系数：★★★
【题目】
(26年深圳南山外国语初三二模)
如图，在菱形\(ABCD\)中，\(∠ABC=60^\circ\)，点\(P\)为线段\(AC\)上一动点，点\(E\)为射线\(BP\)上的一点（点\(E\)与点\(B\)不重合）。
【问题解决】
（1）如图①，若点\(P\)与线段\(AC\)的中点\(O\)重合，则\(∠PBC\)的度数为 ，线段\(BP\)与线段\(AC\)的位置关系是 ；
【问题探究】
（2）如图②，在点\(P\)运动过程中，点\(E\)在线段\(BP\)上，且\(∠AEP=30^\circ\)，\(∠PEC=60^\circ\)，判断线段\(BE\)与线段\(EC\)的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在点\(P\)运动过程中，将线段\(BE\)绕点\(E\)逆时针旋转\(120^\circ\)得到\(EF\)，射线\(EF\)交射线\(BC\)于点\(G\)，若\(BE=2FG\)，\(AB=7\)，求\(AP\)的长.
【分析】
第一问：
依题意可知\(∆ABC\)是等边三角形，又\(P\)为线段\(AC\)的中点，由三线合一可得\(∠PBC=30^\circ，BP⊥AC\)；
第二问：
由于\(∆ABC\)是等边三角形，所以会想到手拉手模型(看图类似奔驰模型)，把\(∆ABE\)绕着点\(B\)顺时针旋转\(60^\circ\)得到\(∆BCM\)，可得\(∆BEM\)是等边三角形；
第三问：
该问最重要的要考虑全面，有两种可能：①点\(G\)在线段\(EF\)的延长线上，②点\(G\)在线段\(EF\)上；
第一种情况，由图易得\(\left\{ \begin{array}{c} ∠BAM=∠BEG=120^\circ\\ ∠AMB=∠MBC \end{array} \right. ⇒∆ABM\sim ∆EBG\)，则\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{BE}{EG}=\dfrac{2}{3}\)；
又\(∆APM\sim ∆CPB⇒\dfrac{AP}{CP}=\dfrac{AM}{BC}=\dfrac{2}{3}\)；又\(AC=AB=7\)，\(∴AP=7×\dfrac{2}{5}=\dfrac{14}{5}\)；
第二种情况，同理可得\(∆ABM\sim ∆EBF\)，则\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{EB}{EF}=2\)；
又\(∆APM\sim ∆CPB⇒\dfrac{AP}{CP}=\dfrac{AM}{BC}=2\)，
又\(AC=AB=7\)，\(∴AP=7×\dfrac{2}{3}=\dfrac{14}{3}\)；
综上\(AP\)的长度为\(\dfrac{14}{5}\)或\(\dfrac{14}{3}\).
【解答】
第一问：
\(∠PBC=30^\circ\)，垂直；
第二问：
\(BE\)绕着点\(B\)顺时针旋转\(60^\circ\)得到\(BM\)，连接\(CM，EM\)，
则\(∆BEM\)是等边三角形，
\(∴BE=EM=BE，∠BME=60^\circ，∠BEM=60^\circ\)，
\(∵∠ABC=60^\circ\)，\(∴∠ABE=∠CEM\)，
\(∵\)四边形\(ABCD\)是菱形，\(∴AB=BC\)，
\(∴∆ABE≅∆CBM\)，
\(∴∠BMC=∠BEA=180^\circ-30^\circ=150^\circ\)，
\(∴∠EMC=150^\circ-∠BME=90^\circ\)，
又\(∠MEC=180^\circ-∠BEM-∠PEC=60^\circ\)；
\(∴EM=EC×\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2} EC\)，
又\(EM=BE\)，\(∴EC=2BE\).
第三问：
①当点\(G\)在线段\(EF\)的延长线上时，延长\(BE\)交\(AD\)于\(M\)，
\(∵\)四边形\(ABCD\)是菱形，\(∴AD||BC\)，
\(∴∠BAD=180^\circ-∠ABC=120^\circ=∠BEF\)，\(∠AMB=∠MBC\)，
\(∴∆ABM\sim ∆EBG\)，\(∴\dfrac{AM}{BE}=\dfrac{AB}{EG}\)，即\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{BE}{EG}\)，
\(∵BE=2FG，BE=EF\)，\(∴\dfrac{BE}{EG}=\dfrac{2}{3}\)，
\(∴\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{2}{3}\)，\(∴\dfrac{AM}{BC}=\dfrac{2}{3}\)，
\(∵AD||BC\)，\(∴∆APM\sim ∆CPB\)，\(∴\dfrac{AP}{CP}=\dfrac{AM}{BC}=\dfrac{2}{3}\)，
又\(AC=AB=7\)，
\(∴AP=7×\dfrac{2}{5}=\dfrac{14}{5}\)；
② 点\(G\)在线段\(EF\)上，延长\(BE\)交\(AD\)于\(M\)；
\(∵\)四边形\(ABCD\)是菱形，\(∴AD||BC\)，
\(∴∠BAD=180^\circ-∠ABC=120^\circ=∠BEF\)，\(∠AMB=∠MBC\)，
\(∴∆ABM\sim ∆EBF\)，则\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{EB}{EF}=2\)；
\(∵AD||BC\)，\(∴∆APM\sim ∆CPB\)，\(∴\dfrac{AP}{CP}=\dfrac{AM}{BC}=2\)，
又\(AC=AB=7\)，\(∴AP=7×\dfrac{2}{3}=\dfrac{14}{3}\)；
综上\(AP\)的长度为\(\dfrac{14}{5}\)或\(\dfrac{14}{3}\).