中学函数常识暴露数学几百年重大错误：搞错函数的值域

黄小宁

本文的论据是中学函数常识c：若两函数的定义域与对应法则都相同则这两函数必相等。

定义域为R的u=x³ + x² + x + 1 的值域真的=R吗？当u=x³ + x² + x + 1 =0即u=x² （x + 1 ）+(x+1)=0亦即u=(x+1)（x² + 1 ）=0时x=-1。

如草图所示R轴即x轴各点x的对应点u=x³ + x² + x + 1 的全体是u=x³ + x² + x + 1 轴附着在x轴上。

定义域为x轴的y=f（x）=x的f不变而只是自变量x变为u=u（x）(x的变域是x轴）就使y变为定义域为u轴自变量为u的新函数y=f（u）=u=x³ + x² + x + 1 ，y是关于u的一次函数说明其函数关系图是直线，dy/du=1说明直线y=f（u）=u的斜率是1，令y=u=x³ + x² + x+1=0时x=-1说明直线y（u）与x轴的交点是点x=-1（看图）；直线y=x与直线y=u不相等说明这两函数y=x与y=u不是同一函数。据常识c这两对应法则相同的函数不相等说明其定义域不同即x轴与u轴不相等——推翻直线公理。流传2300多年使世人深信不疑的直线公理使自有函数概念几百年来数学一直有现在的初等数学的函数“常识”：x轴与u轴是同一轴即定义域为R的u=x³ + x² + x + 1 的值域=R。中学函数常识c否定了此伪常识。限于篇幅本文只能挂一漏万。“肉眼直观”阶段的数学一直被肉眼所骗而将无穷多前所未知的伪R轴误为熟悉的R轴。

详论见黄小宁短文《数集相等概念暴露数学几百年重大错误：将前所未知的数轴误为熟悉的数轴》。